Wiederholung

Die Kreisfunktionen $\sin$ und $\cos$

Das Applet verdeutlicht die $\sin$- und $\cos$-Funktion am Kreis.

Zum Herunterladen: sincos.ggb

Aufgabe 1

Betrachte einen Kreis mit dem Koordinatenursprung $(0|0)$ als Mittelpunkt und dem Radius $r = 1$. Einen solchen Kreis nennt man auch Einheitskreis. Mache dir anhand des Applets folgende Zusammenhänge klar.

• Mit einem Winkel (gemessen entgegen dem Uhrzeigersinn von der 3-Uhr-Position aus) lässt sich die Lage eines Punktes $P$ auf dem Kreis beschreiben.
• Üblicherweise benutzt man einen Winkel mit $0° \le \alpha \lt 360°$. Man kann aber auch Winkel mit $\alpha \ge 360°$ benutzen. Ebenso ist es möglich, negative Winkel zu benutzen - diese werden dann im Uhrzeigersinn gemessen.
• Die Winkelgröße lässt sich im Gradmaß und im Bogenmaß angeben. Das Bogenmaß gibt die Länge des zum Winkel gehörenden Kreisbogens im Einheitskreis an. Im Applet wird diese Länge mit $x$ bezeichnet. Beachte, dass $x$ auch negative Werte annehmen kann.
• Ist $x$ die Länge des Kreisbogens zum Punkt $P$, so hat $P$ die Koordinaten $P(\cos(x)|\sin(x))$. Die $\cos$-Funktion liefert also die $x$-Koordinate von $P$, die $\sin$-Funktion die $y$-Koordinate von $P$.

Aufgabe 2

Ergänze die folgenden Wertetabellen.

$\alpha$		$0°$
$x$	$-\frac{1}{2}\pi$	$0$	$\frac{1}{2}\pi$	$\pi$	$\frac{3}{2}\pi$	$2\pi$	$\frac{5}{2}\pi$
$\sin(x)$		$0$
$\cos(x)$		$1$

Aufgabe 3

Begründe: Die $\sin$- und $\cos$-Funktion sind periodische Funktionen mit der Periode $2\pi$. Es gilt:

• $\sin(x+2\pi) = \sin(x)$
• $\cos(x+2\pi) = \cos(x)$

Aufgabe 4

Im Applet weiter unten kann man mit dem Schieberegler $a$ den Kreisradius variieren.

Begründe: Ist $x$ das Bogenmaß zum Winkel $\alpha$ und ist $P$ der Punkt auf dem Kreis mit dem Radius $a$ zum Winkel $\alpha$, so hat $P$ die Koordinaten $P(a\cos(x)|a\sin(x))$.

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