Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir gehen von den Daten zur Populationsentwicklung aus dem letzten Abschnitt aus. Ziel ist es, die Populationsentwicklung mit einer Funktion zu beschreiben.
Die Populationsentwicklung phasenweise mit Funktionen beschreiben
Die Populationsentwicklung lässt sich in Phasen einteilen:
- Expansionsphase: Die Population wächst sehr stark. Es liegt annähernd exponentielles Wachstum vor.
- Übergangsphase: Die Wachstumsdynamik nimmt ab, die Population wächst nahezu linear an.
- Sättigungsphase: Die Population nähert sich einer Wachstumsgrenze. Es liegt annähernd begrenztes Wachstum vor.
Zum Herunterladen: logistisch4.ggb
Aufgabe 1
Im Applet wird die Expansionsphase mit einer Funktion $g$ und die Sättigungsphase mit einer Funktion $h$ näherungsweise modelliert. Die Funktionsgleichung zu den Funktionen $g$ und $h$ werden mit den drei Prametern $G$, $k$ und $c$ beschrieben. Teste, wie sich eine Variation der Parameter auf die Graphen von $g$ und $h$ auswirken. Kläre dann folgende Fragen:
- Was steuert der Parameter $G$? Warum sollte man $G \approx 100$ einstellen?
- Was steuert der Parameter $k$? Warum ist $k \approx 0.6$ eine gute Wahl?
- Warum sollte man $c$ so einstellen, dass $\frac{G}{c} \approx 2$ gilt?
Die Populationsentwicklung mit Differentialgleichungen beschreiben
Das Wachstum in der Expansions- und Sättigungsphase lässt sich näherungsweise mit Differentialgleichungen charakterisieren.
| Expansionsphase | Sättigungsphase |
|---|---|
|
Die Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{G}{c} \cdot e^{k \cdot x}$ zur Beschreibung der Bestandsentwicklung
in der Expansionsphase erfüllt die Differentialgleichung zum exponentiellen Wachstum: $g'(x) = k \cdot g(x)$ |
Die Funktion $h$ mit $h(x) = G - G \cdot c \cdot e^{-k \cdot x}$ zur Beschreibung der Bestandsentwicklung
in der Sättigungsphase erfüllt die Differentialgleichung zum begrenzten Wachstum: $h'(x) = k \cdot (G - h(x))$ |
Ziel ist es, den gesamten Wachstumsprozess mit einer Funktion $f$ zu beschreiben. Wir entwickeln zunächst die Differentialgleichung, die die gesuchte Funktion $f$ erfüllen soll. Hierzu kombinieren wir die Differentialgleichungen zum exponentiellen Wachstum in der Expansionsphase mit der Differentialgleichung zum begrenzten Wachstum in der Sättigungsphase.
Betrachte die Differentialgleichung zum logistischen Wachstum:
$f'(x) = \frac{k}{G} \cdot f(x) \cdot (G - f(x))$
Aufgabe 2
Erläutere in eigenen Worten die folgenden Überlegungen.
| Expansionsphase | Sättigungsphase |
|---|---|
|
In der Expansionsphase ist die Bestandsgröße noch sehr gering im Vergleich zur Wachstumsgrenze $G$.
In der Expansionsphase gilt also $G - f(x) \approx G$.
In dieser Phase kann man die DGL zum logistischen Wachstum in die DGL zum exponentiellen Wachstum vereinfachend überführen. $\begin{array}{lcl} f'(x) & = & \frac{k}{G} \cdot f(x) \cdot (G - f(x)) \\ & \approx & \frac{k}{G} \cdot f(x) \cdot G \\ & = & k \cdot f(x) \end{array}$ |
In der Sättigungsphase hat die Bestandsgröße die Wachstumsgrenze $G$ fast erreicht.
In der Sättigungsphase gilt also $f(x) \approx G$ bzw. $\frac{f(x)}{G} \approx 1$.
In dieser Phase kann man die DGL zum logistischen Wachstum in die DGL zum begrenzten Wachstum vereinfachend überführen. $\begin{array}{lcl} f'(x) & = & \frac{k}{G} \cdot f(x) \cdot (G - f(x)) \\ & = & k \cdot \frac{f(x)}{G} \cdot (G - f(x)) \\ & \approx & k \cdot 1 \cdot (G - f(x)) \\ & = & k \cdot (G - f(x)) \end{array}$ |
Die logistische DGL $f'(x) = \frac{k}{G} \cdot f(x) \cdot (G - f(x))$ beschreibt somit annähernd exponentielles Wachstum in der Expansionsphase und begrenztes Wachstum in der Sättigungsphase.
Die gesamte Populationsentwicklung mit einer Funktion beschreiben
Zur Beschreibung der Populationsentwicklung in allen Phasen suchen wir eine Lösung der Differentialgleichung zum logistischen Wachstum:
$f'(x) = \frac{k}{G} \cdot f(x) \cdot (G - f(x))$
Betrachte hierzu eine logistische Funktion mit folgender Funktionsgleichung:
$\displaystyle{f(x) = \frac{G}{1+c\cdot e^{-k \cdot x}}}$
Die Parameter $G$, $k$ und $c$ stehen dabei für positive reelle Zahlen.
Aufgabe 3
Zeige, dass die logistische Funktion die Differentialgleichung zum logistischen Wachstum erfüllt. Bearbeite hierzu folgende Teilaufgaben.
(a) Bestimme die Ableitungsfunktion zur logistischen Funktion mit den bekannten Ableitungsregeln.
$f'(x) = \dots$
(b) Setze den Funktionsterm der logistischen Funktion ein und vereinfache.
$\frac{k}{G} \cdot f(x) \cdot (G - f(x)) = \dots$
(c) Zeige durch Umformen, dass die Terme in (a) und (b) äquivalent sind.
Aufgabe 4
Nutze zur Kontrolle das folgende Applet. Stelle die Parameter $G$, $k$ und $c$ passend ein.
- Warum sollte man $G \approx 100$ einstellen?
- Warum ist $k \approx 0.6$ eine gute Wahl?
- Warum sollte man $c$ so einstellen, dass $\frac{G}{1+c} \approx 2$ gilt?
Zum Herunterladen: logistisch5.ggb
Zusammenhänge präzisieren
Wir fassen die oben entwickelten Ergebnisse hier zusammen.
Logistisches Wachstum
Die Funktion $f$ beschreibe das Wachstum eines Bestandes. Es liegt ein logistisches Wachstum mit einer Grenze $G$ und dem Wachstumsfaktor $k$ vor, wenn die Funktion $f$ die folgende logistische Differentialgleichung erfüllt:
$f'(x) = \frac{k}{G} \cdot f(x) \cdot (G - f(x))$
Phasen eines logistischen Wachstums
Wenn die Funktion $f$ ein logistisches Wachstum mit der Grenze $G$ und dem Wachstumsfaktor $k$ beschreibt, dann gilt:
In einer Expansionsphase liegt annähernd ein exponentielles Wachstum mit der Wachstumskonstanten $k$ vor.
In einer Sättigungsphase liegt ein begrenztes Wachstum mit der Grenze $G$ und der Wachstumskonstanten $k$ vor.
Logistische Funktionen
Betrachte eine Funktion $f$ mit folgender Funktionsgleichung:
$\displaystyle{f(x) = \frac{G}{1+c\cdot e^{-k \cdot x}}}$
Die Parameter $G$, $k$ und $c$ stehen hier für positive reelle Zahlen. Man nennt solche Funktionen auch logistische Funktionen.
Jede logistische Funktion ist eine Lösung der logistischen Differentialgleichung $f'(x) = \frac{k}{G} \cdot f(x) \cdot (G - f(x))$.
Wenn $f(0) = a$ vorgegeben ist, dann wählt man $c$ so, dass $a = \frac{G}{1+c}$ gilt.
