Erarbeitung – Experimente
Zur Orientierung
Wie wirkt sich das Vervielfachen einer Funktion mit einem Faktor beim Ableiten aus? Wie leitet man eine Summe von Funktionen ab? Diese Fragen kannst du hier experimentell klären.
Eine Faktorregel experimentell gewinnen
Benutze zum Experimentieren das folgende Applet. Bearbeite hierzu die Aufgabe unter dem Applet.
Zum Herunterladen: faktorregel.ggb
Aufgabe 1
(a) Im Applet wird gezeigt, wie man die Ableitung einer Funktion vom Typ $c \cdot u$ bildet. Analysiere das Beispiel. Beschreibe, wie man die Ableitungsfunktion $(c \cdot u)'$ erhält.
(b) Bilde selbst weitere die Ableitungen von Funktionen vom Typ $c \cdot u$ und trage die Ergebnisse in die Tabelle ein. Überprüfe die Ergebnisse im Applet.
| $c$ | $u$ | $(c \cdot u)'$ | |
|---|---|---|---|
| (1) | $c = 2$ | $u(x) = \sin(x)$ | $(c \cdot u)'(x) = 2 \cdot \cos(x)$ |
| (2) | $c = \quad$ | $u(x) = \quad\quad$ | $(c \cdot u)'(x) = \quad\quad\quad$ |
| (3) | $c = \quad$ | $u(x) = \quad\quad$ | $(c \cdot u)'(x) = \quad\quad\quad$ |
(c) Formuliere eine allgemeine Regel zum Ableiten von Funktionen, die mit einem Faktor vervielfacht sind.
Faktorregel
Wenn $f(x) = c \cdot u(x)$ (mit einer reellen Zahl $c$), dann gilt $f'(x) = \dots$.
Kurz: $(c \cdot u)' = \dots$
Eine Summenregel experimentell gewinnen
Benutze zum Experimentieren das folgende Applet. Bearbeite hierzu die Aufgabe unter dem Applet.
Zum Herunterladen: summenregel.ggb
Aufgabe 2
(a) Im Applet wird gezeigt, wie man die Ableitung einer Funktion vom Typ $u + v$ bildet. Analysiere das Beispiel. Beschreibe, wie man die Ableitungsfunktion $(u + v)'$ erhält.
(b) Bilde selbst weitere die Ableitungen von Funktionen vom Typ $u + v$ und trage die Ergebnisse in die Tabelle ein. Überprüfe die Ergebnisse im Applet.
| $u$ | $v$ | $(u + v)'$ | |
|---|---|---|---|
| (1) | $u(x) = \sin(x)$ | $v(x) = \cos(x)$ | $(u + v)'(x) = \cos(x) - \sin(x)$ |
| (2) | $u(x) = \quad\quad$ | $v(x) = \quad\quad$ | $(u + v)'(x) = \quad\quad\quad$ |
| (3) | $u(x) = \quad\quad$ | $v(x) = \quad\quad$ | $(u + v)'(x) = \quad\quad\quad$ |
(c) Formuliere eine allgemeine Regel zum Ableiten von Summen von Funktionen.
Summenregel
Wenn $f(x) = u(x) + v(x)$, dann gilt $f'(x) = \dots$.
Kurz: $(u + v)' = \dots$
Eine Differenzenregel herleiten
Aufgabe 3
Begründe mit der Faktor- und Summenregel die beiden folgenden Regeln.
Gegenfunktionsregel: $(-u)' = -u'$
Differenzenregel: $(u - v)' = u' - v'$
