Beispiel 1

Aufgabe

Das Applet zeigt die Graphen von zwei Funktionen.

Zum Herunterladen: aufgabe1.ggb

(a) Die Graphen gehören zu den Funktionen $f$ mit $f(x) = \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$ und $g$ mit $g(x) = \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$. Aber, welcher Graph gehört zu welcher Funktion? Begründe die richtige Zuordnung auf mehrere Weisen. Nutze die folgenden Funktionseigenschaften.

• Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
• Symmetrieeigenschaften
• Verhalten im Unendlichen

(b) Betrachte die Funktion $a$ mit $a(x) = f(x) + g(x)$. Um welche besondere Funktion handelt es sich dabei?

(c) Zeige, dass $f' = g$ und $g' = f$ gilt. Was folgt hieraus für $f''$ und $g''$?

(d) Blende die Funktion $h$ ein. Die Funktion $f$ soll mit einer Quadratfunktion $h$ mit $h(x) = k \cdot x^2 + 1$ angenähert werden, so dass $f(0) = h(0)$ sowie $f'(0) = h'(0)$ und $f''(0) = h''(0)$ gilt. Bestimme den Parameter $k$ passend. Wie groß ist die prozentuale Abweichung an der Stelle $x = 1$?