Erarbeitung
Zur Orientierung
In diesem Abschnitt verwenden wir die Sinus- und Kosinus-Funktion, um unterschiedliche Kreisbewegungen zu beschreiben.
Kreisbewegungen modellieren
Im folgenden Applet kann man mit der Schaltfläche [$\triangleright$] eine Kreisbewegung starten. Mit der Schaltfläche [$\circ$] kann man die Ausgangssituation wieder herstellen. Propiere das selbst aus und bearbeite dann die Aufgaben unter dem Applet.
Zum Herunterladen: sincosdynamisch2.ggb
Aufgabe 1
Führe Kreisbewegungen mit unterschiedlichen Einstellungen von $\omega$ aus. Erläutere, dass man $\omega$ als Winkelgeschwindigkeit deuten kann.
Aufgabe 2
Eine Kreisbewegung erhält man, wenn man die Koordinaten des Punktes $P$ in der Form $P(r\cos(\omega t)| r\sin(\omega t))$ wählt und $t$ dynamisch verändert.
Mit der Umlaufdauer $T$ beschreibt man, wie lang es dauert, bis der Punkt $P$ eine vollständige Kreisbewegung durchgeführt hat.
(a) Untersuche mit dem Applet den Zusammenhang zwischen der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ und der Umlaufdauer $T$.
| $\omega$ Winkelgeschwindigkeit |
$T$ Umlaufdauer |
|---|---|
| $0.5$ | |
| $1$ | $2\pi$ |
| $2$ | |
| $4$ |
(b) Beschreibe den Zusammenhang mit einer Formel.
Aufgabe 3
Begründe: Die Funktionen $x(t) = r\cos(\omega t)$ und $y(t) = r\sin(\omega t)$ sind periodische Funktionen mit der Periode $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Es gilt:
- $x(t+\frac{2\pi}{\omega}) = x(t)$ bzw. $r\cos(\omega (t+\frac{2\pi}{\omega})) = r\cos(\omega t)$
- $y(t+\frac{2\pi}{\omega}) = y(t)$ bzw. $r\sin(\omega (t+\frac{2\pi}{\omega})) = r\sin(\omega t)$
Aufgabe 4
Ergänze den folgenden Satz.
Beschreibung von Kreiswegungen
Der Punkt $P$ bewegt sich auf einem Kreis mit Mittelpunkt $(0|0)$ und Radius $r$ mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ – beginnend zum Zeitpunkt $t = 0$ an der 3-Uhr-Position – genau dann, wenn man die momentane Position von $P$ zum Zeitpunkt $t$ so beschreiben kann:
$P_t = (\dots|\dots)$
