Ableitung von Exponentialfunktionen
Exponentialfunktionen
Exponentialfunktionen sind Funktionen der Gestalt $f(x) = b^{x}$ mit einer reellen Zahl $b > 0$ und $b \neq 1$ als Basiszahl. Das Applet zeigt die Graphen dieser Exponentialfunktionen. Beachte, dass im Applet auch Graphen für die Zahlen $b = 0$ und $b = 1$ angezeigt werden.
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Aufgabe 1
Verdeutliche anhand des Applets die folgenden Eigenschaften von Exponentialfunktionen.
- Für beliebiges $b$ gilt $f(x) > 0$. Für beliebiges $b$ gilt zudem $f(0) = 1$.
- Für $b > 1$ ist die Funktion streng monoton steigend.
- Für $b > 1$ gilt $f(x) \rightarrow \infty$ für $x \rightarrow \infty$ sowie $f(x) \rightarrow 0$ für $x \rightarrow -\infty$.
- Für $b \lt 1$ ist die Funktion streng monoton fallend.
- Für $b \lt 1$ gilt $f(x) \rightarrow 0$ für $x \rightarrow \infty$ sowie $f(x) \rightarrow \infty$ für $x \rightarrow -\infty$.
Ableitung von Exponentialfunktionen
Im folgenden Applet wird die Ableitungsfunktion zu einer vorgegebenen Exponentialfunktion grafisch erzeugt. Wenn man den roten Punkt auf der $x$-Achse hin un her bewegt, dann wird die Steigung (der Tangente) im zugehörigen Punkt mit einem weiteren Punkt angezeigt. Die Spur dieses weiteren Punktes liefert (teilweise) den Graph der Ableitungsfunktion zur vorgegebenen Exponentialfunktion.
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Aufgabe 2
Im Applet wird auch der algebraisch-analytische Weg zur Bestimmung der Ableitungsfunktion zu einer Exponentialfunktion angedeutet. Hier sollen noch fehlende Argumentationslücken geschlossen werden. Wir gehen dabei exemplarisch vor und werden nur ein – charakteristisches – Beispiel einer Exponentialfunktion betrachten. Das Vorgehen ist aber auf andere Exponentialfunktionen übertragbar. Wir betrachten $f(x) = 2^x$.
(a) Ergänze die noch fehlenden Umformungsschritte bei der Herleitung einer Formel für die mittlere Änderungsrate $m(x,x+h)$.
$\begin{array}{lcl} m(x, x+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}} \\ & = & \dots \\ & = & \dots \\ & = & \dots \\ & = & 2^x \cdot \displaystyle{\frac{2^h - 1}{h}} \end{array}$
(b) Begründe: $\displaystyle{\frac{(2^h - 1)}{h}} = m(0, 0+h)$.
Der Grenzwert $\displaystyle{\frac{(2^h - 1)}{h}}$ für $h \rightarrow 0$ entspricht also der Steigung von Graph $f$ an der Stelle $x = 0$.
(c) Begründe, dass die Argumentationen in den Teilaufgaben (a) und (b) auf beliebige Basiszahlen übertragen werden können und dass man somit den folgenden Zusammenhang erhält.
Ableitung einer Exponentialfunktion
Gegeben ist eine Exponentialfunktion $f$ mit $f(x) = b^x$ (mit einer positiven reellen Zahl $b$, die ungleich $1$ ist). Für die Ableitung $f'(x)$ gilt dann:
$f'(x) = c \cdot b^x$, wobei $c$ eine reelle Zahl ist mit $c = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{b^h - 1}{h}}}$.
Für die Zahl $c$ gilt $c = f'(0)$. D.h., die Zahl $c$ beschreibt die Steigung von Graph $f$ an der Stelle $x = 0$.
Die e-Funktion
Im folgenden Applet werden nur noch die Graphen der eingestellten Exponentialfunktion sowie deren Ableitungsfunktion angezeigt. Bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.
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Aufgabe 3
Stelle mit dem Schieberegler die Basiszahl $b$ so ein, dass der Graph der Ableitungsfunktion $f'$ (nahezu) mit dem Graph der eingestellten Exponentialfunktion übereinstimmt. Benutze zur Feinjustierung den im oberen Fenster angezeigten Wert $f'(0)$. Zeige so experimentell den folgenden Zusammenhang.
Eine besondere Exponentialfunktion
Es gibt eine reelle Zahl $e$, so dass für die Exponentialfunktion $f(x) = e^x$ gilt:
$f'(x) = e^x$
Für die Zahl $e$ gilt $e = 2.718281828459...$.
Wegen ihrer Bedeutung erhalten die Zahl $e$ und die hierauf basierende Exponentialfunktion eigene Namen.
Die Zahl e und die e-Funktion
Die Zahl $e = 2.718281828459...$ heißt Eulersche Zahl. Sie ist eine irrationale Zahl. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Leonhard Euler, der einer der bedeutensten Mathematiker im 18. Jahrhundert war.
Die Exponentialfunktion $f(x) = e^x$ mit der Basis $e$ wird meist e-Funktion und manchmal auch natürliche Exponentialfunktion genannt. Wir schreiben sie gelegentlich in der Form $\exp(x) = e^x$.
Hinweis
Den experimentell gefundenen Zusammenhang kann man auch beweisen. Das geht aber über die Darstellung hier hinaus.
Differentialgleichung
Eine Differentialgleichung ist eine mathematische Gleichung, die einen Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihren Ableitungsfunktionen herstellt.
Aufgabe 4
Erläutere: Die e-Funktion $f(x) = e^x$ erfüllt die Differentialgleichung $f' = f$.
