Übungen - Quotientenregel

Aufgabe 1

Bestimme mit der Quotientenregel die Ableitungsfunktionen.

	Ausgangsfunktion	Ableitungsfunktion $\qquad\qquad\qquad\qquad$
(1)	$f(x) = \displaystyle{\frac{1+x}{1-x}}$	$f'(x) = $
(2)	$f(x) = \displaystyle{\frac{x^2}{1+x^2}}$	$f'(x) = $
(3)	$g(x) = \displaystyle{\frac{1}{e^x}}$	$g'(x) = $
(4)	$f(x) = \displaystyle{\frac{\sin(x)}{x}}$	$f'(x) = $
(5)	$h(x) = \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x}}}$	$h'(x) = $
(6)	$f(x) = \displaystyle{\frac{ax + b}{bx + a}}$	$f'(x) = $

Aufgabe 2

(a) Betrachte die $\tan$-Funktion. Zeige, dass $\tan'(x) = \displaystyle{\frac{1}{\cos^2(x)}}$ gilt. Benutze dabei die folgenden Zusammenhänge:

• $\tan(x) = \displaystyle{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}$
• $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$

(b) Betrachte die $\cot$-Funktion mit $\cot(x) = \displaystyle{\frac{\cos(x)}{\sin(x)}} = \displaystyle{\frac{1}{\tan(x)}}$. Entwickle Formeln für die Ableitungsfunktion $\cot'$.

(c) Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = \displaystyle{\frac{1}{\sin(x) \cdot \cos(x)}}$. Entwickle eine Formel für die Ableitungsfunktion $f'$. Benutze die Produkt- und Quotientenregel.

Aufgabe 3

Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = \displaystyle{\frac{2x}{x^2+1}}$.

Zum Herunterladen: funktionsgraph5.ggb

(a) Bestimme die Steigung von Graph $f$ im Punkt $(0|0)$. Kontrolliere das Ergebnis im Applet. Bewege hierzu den roten Punkt auf der $x$-Achse an die passende Stelle.

(b) Ermittle rechnerisch die Punkte von Graph $f$ mit der Steigung $0$. Kontrolliere die Ergebnisse im Applet.