Erarbeitung

Eine Ableitungsregel für Umkehrfunktionen herleiten

Wir gehen bei der Herleitung einer Ableitungsregel für Umkehrfunktionen deduktiv vor. Das heißt, wir greifen auf bereits bekannte Zusammenhänge zurück und nutzen sie, um die Ableitungsregel zu erschließen.

Das Applet unterstützt die Herleitung einer Regel zum Ableiten einer Umkehrfunktion. Bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.

Zum Herunterladen: umkehrregel2.ggb

Aufgabe 1

(a) Mache dir anhand des Applets die folgenden Zusammenhänge klar.

• Gegeben ist eine umkehrbare Funktion $f$ und ihre Umkehrfunktion $f^{-1}$. Im Applet wird diese Ausgangssituation am Beispiel der Quadratfunktion und der Wurzelfunktion als Umkehrfunktion verdeutlicht. Der Graph der Ausgangsfunktion ist dabei blau, der Graph der zugehörigen Umkehrfunktion grün dargestellt.
• Die beiden Graphen von $f$ und $f^{-1}$ liegen spiegelbildlich zur Winkelhalbierenden $y = x$. Man erhält Graph $f^{-1}$, indem man Graph $f$ an dieser Winkelhalbierenden spiegelt und umgekehrt.
• Betrachte eine beliebige Stelle $x$ aus der Definitionsmenge der Umkehrfunktion $f^{-1}$. Im Applet ist die Stelle $x$ mit einem roten Punkt auf der $x$-Achse markiert. Man kann diesen roten Punkt auf der $x$-Achse hin und her bewegen und so die Stelle $x$ variieren.
• Der Punkt $P(x|y)$ markiert den zu $x$ gehörenden Punkt auf dem Graph der Umkehrfunktion $f^{-1}$. Es gilt also $y = f^{-1}(x)$.
• Die Ableitung $(f^{-1})'(x)$ beschreibt die Steigung von Graph $f^{-1}$ an der Stelle $x$ bzw. die Steigung der Tangente an Graph $f^{-1}$ im Punkt $P$. Im Applet wird diese Tangente mit $t_{f^{-1}}$ bezeichnet und mit einer grün gepunkteten Geraden angezeigt.
• Zum Punkt $P(x|y)$ auf Graph $f^{-1}$ gibt es einen spiegelbildlich angeordneten Punkt $Q(y|x)$ auf Graph $f$. Beachte, dass man die Koordinaten von $Q$ durch Vertauschen der Koordinaten von $P$ erhält.
• Die Ableitung $f'(y)$ beschreibt die Steigung von Graph $f$ an der Stelle $y$ bzw. die Steigung der Tangente an Graph $f$ im Punkt $Q$. Im Applet wird diese Tangente mit $t_{f}$ bezeichnet und mit einer blau gepunkteten Geraden angezeigt.
• Die Tangenten $t_{f}$ und $t_{f^{-1}}$ liegen – genau wie Graph $f$ und Graph $f^{-1}$ – spiegelbildich zur Winkelhalbierenden $y = x$. Ebenfalls spiegelbildlich dargestellt sind die beiden Steigungsdreiecke an den Tangenten $t_{f}$ und $t_{f^{-1}}$.
• Das Spiegeln vertauscht die Rollen der Schrittweite und der Änderung in den Steigungsdreiecken. Die Schrittweite im grün dargestellten Steigungsdreieck entspricht der Änderung im blau dargestellten Steigungsdreieck. Ebenso entspricht die Änderung im grün dargestellten Steigungsdreieck der Schrittweite im blau dargestellten Steigungsdreieck. Hieraus folgt, dass $m_P = \displaystyle{\frac{1}{m_Q}}$ gilt.

(b) Begründe mit den Zusammenhängen aus (a) die folgende Regel zum Ableiten von $f^{-1}$:

Kontrolle

$(f^{-1})'(x) = m_{P} = \displaystyle{\frac{1}{m_Q}} = \displaystyle{\frac{1}{f'(y)}} = \displaystyle{\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}}$

(c) Warum muss man bei der Anwendung der Umkehrregel u.a. voraussetzen, dass $\frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \neq 0$ gilt.

Die Umkehrregel anwenden

Betrachte die im Applet oben vorgegebene Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$ und der Definitionsmenge $0 \lt x \lt \infty$.

(a) Zeige vorab:

• $f'(x) = 2x$
• $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$

(b) Nutze die Ergebnisse aus (a) und die Umkehrregel, um die Ableitung von $f^{-1}$ zu bestimmen.

$(f^{-1})'(x) = \displaystyle{\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}} = \dots$

Kontrolle

$(f^{-1})'(x) = \displaystyle{\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}} = \displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$

(c) Die Ableitung der Wurzelfunktion kann man auch mit der verallgemeinerten Potenzregel bestimmen, wenn man sie auf $f^{-1}(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ anwendet. Zeige, dass man mit der verallgemeinerten Potenzregel dieselbe Ableitungsfunktion erhält.

Kontrolle

$\displaystyle{(f^{-1})'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$