Lösungen zu Übungen – Kettenregel
Aufgabe 1
Bestimme jeweils die Ableitungsfunktion mit der Kettenregel.
(a)
| $f(x)$ | $f'(x)$ $\qquad\qquad\qquad\qquad$ | |
|---|---|---|
| (1) | $f(x) = (4x + 2)^3$ | $f'(x) = 3(4x + 2)^2 \cdot 4$ |
| (2) | $f(x) = (2 - x)^4$ | $f'(x) = 4(2 - x)^3 \cdot (-1)$ |
| (3) | $f(x) = (x - 2)^5$ | $f'(x) = 5(x - 2)^4 \cdot 1$ |
| (4) | $f(x) = (3 - 2x^2)^2$ | $f'(x) = 2(3 - 2x^2) \cdot (-4x)$ |
(b)
| $f(x)$ | $f'(x)$ $\qquad\qquad\qquad\qquad$ | |
|---|---|---|
| (1) | $f(x) = \cos(3x)$ | $f'(x) = -\sin(3x) \cdot 3$ |
| (2) | $f(x) = \sin(\pi - x)$ | $f'(x) = \cos(\pi - x) \cdot (-1)$ |
| (3) | $f(x) = - \cos(x + \frac{\pi}{2})$ | $f'(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2}) \cdot 1$ |
| (4) | $f(x) = \frac{1}{\sin(x)}$ | $f'(x) = -\frac{1}{(\sin(x))^2} \cdot \cos(x)$ |
(c)
| $f(x)$ | $f'(x)$ $\qquad\qquad\qquad\qquad$ | |
|---|---|---|
| (1) | $f(x) = \frac{1}{2-x}$ | $f'(x) = -\frac{1}{(2-x)^2} \cdot (-1)$ |
| (2) | $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ | $f'(x) = -\frac{1}{(x^2+1)^2} \cdot 2x$ |
| (3) | $f(x) = \sqrt{4x^3}$ | $f'(x) = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{4x^3}} \cdot (12x^2)$ |
| (4) | $f(x) = \sqrt{4 - 2x}$ | $f'(x) = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{4 - 2x}} \cdot (-2)$ |
(d)
| $f(x)$ | $f'(x)$ $\qquad\qquad\qquad\qquad$ | |
|---|---|---|
| (1) | $f(x) = e^{2x}$ | $f'(x) = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$ |
| (2) | $f(x) = e^{-x}$ | $f'(x) = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$ |
| (3) | $f(x) = e^{x^2}$ | $f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$ |
| (4) | $f(x) = e^{-\frac{1}{2}x^2+ \frac{1}{2}}$ | $f'(x) = e^{-\frac{1}{2}x^2+ \frac{1}{2}} \cdot (-x) = -x e^{-\frac{1}{2}x^2+ \frac{1}{2}}$ |
Aufgabe 2
Hier wurde jeweils die Kettenregel nicht richtig angewandt. Erkläre, welcher Fehler gemacht wurde. Gib auch die korrekte Ableitungsfunktion an.
| $f(x)$ | $f'(x)$ $\qquad\qquad\qquad\qquad$ | |
|---|---|---|
| (1) | $f(x) = (3x^2 + 1)^4$ | $f'(x) = 4(3x^2 + 1)^3$ |
| (2) | $f(x) = \cos(1 - x)$ | $f'(x) = \sin(1 - x) \cdot (-1)$ |
| (3) | $f(x) = (3 - 2x)^5$ | $f'(x) = 5(3 - 2x)^4 \cdot 2$ |
| (4) | $f(x) = \sin(x^2 + x)$ | $f'(x) = \cos(x^2 + x) \cdot 2x + 1$ |
(1) Das ist wohl der häufigste Fehler. Hier fehlt die innere Ableitung. Korrekt wäre $f'(x) = 4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x$.
(2) Hier ist ein Fehler bei der äußeren Ableitung gemacht worden. Korrekt wäre $f'(x) = -\sin(1 - x) \cdot (-1)$.
(3) Hier ist ein Fehler bei der inneren Ableitung gemacht worden. Korrekt wäre $f'(x) = 5(3 - 2x)^4 \cdot (-2)$.
(4) Hier wurden Klammern vergessen. Korrekt wäre $f'(x) = \cos(x^2 + x) \cdot (2x + 1)$
Aufgabe 3
Leite die Funktionen mit der Kettenregel ab. Beachte, dass du die Kettenregel hier mehrfach benutzen musst.
| $f(x)$ | $f'(x)$ $\qquad\qquad\qquad\qquad$ | |
|---|---|---|
| (1) | $f(x) = (\sin(2x))^4$ | $f'(x) = 4(\sin(2x))^3 \cdot \cos(2x) \cdot 2$ |
| (2) | $f(x) = \sqrt{1 + (\cos(x))^2}$ | $f'(x) = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1 + (\cos(x))^2}} \cdot 2 \cos(x) \cdot (-\sin(x))$ |
| (3) | $f(x) = \frac{1}{(2-x)^3}$ | $f'(x) = - \frac{1}{((2-x)^3)^2} \cdot 3(2-x)^2 \cdot (-1)$ |
| (4) | $f(x) = u(v(w(x)))$ | $f'(x) = u'(v(w(x))) \cdot v'(w(x)) \cdot w'(x)$ |
Aufgabe 4
Leite die Funktionen ab. Beachte, dass du neben der Kettenregel auch die Produkt- und Quotientenregel benutzen musst.
| $f(x)$ | $f'(x)$ $\qquad\qquad\qquad\qquad$ | |
|---|---|---|
| (1) | $f(x) = x^2 \cdot (1-2x)^3$ | $f'(x) = 2x \cdot (1-2x)^3 + x^2 \cdot 3(1-2x)^2 \cdot (-2) = 2x \cdot (1-2x)^3 - 6 x^2 \cdot (1-2x)^2$ |
| (2) | $f(x) = x \cdot e^{-x}$ | $f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot e^{-x} \cdot (-1) = e^{-x} - x \cdot e^{-x}$ |
| (3) | $f(x) = x^2 \cdot (\sin(x))^2$ | $f'(x) = 2x \cdot (\sin(x))^2 + x^2 \cdot 2(\sin(x))^1 \cdot \cos(x) = 2x \cdot (\sin(x))^2 + 2x^2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x)$ |
| (4) | $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}}$ | $\displaystyle{f'(x) = \frac{0 \cdot (1+e^{-x}) - 1 \cdot e^{-x} \cdot (-1)}{(1 + e^{-x})^2} = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}}$ |
Aufgabe 5
Betrachte (wie im Applet) eine Situation, in der $f(x) = u(v(x))$ gilt.
Zum Herunterladen: verkettung_mit_grafik.ggb
Stimmen die folgenden Aussagen? Begründe jeweils.
-
Wenn $v$ an der Stelle $x$ eine horizontale Tangente hat, dann hat auch $f$ an der Stelle $x$ eine horizontale Tangente
(sofern $f$ an der Stelle $x$ definiert ist).
Diese Aussage stimmt. Es gilt $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$. Wenn $v'(x) = 0$ (bzw. $v$ hat an der Stelle $x$ die Steigung $0$), dann gilt auch $f'(x) = 0$ (bzw. $f$ hat an der Stelle $x$ die Steigung $0$). -
Wenn $u$ an der Stelle $x_1$ eine horizontale Tangente hat und wenn zusätzlich $x_1 = v(x_0)$ gilt, dann hat auch $f$ an der Stelle $x_0$ eine horizontale Tangente
(sofern $f$ an der Stelle $x_0$ definiert ist).
Diese Aussage stimmt. Es gilt $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$. Wenn $v(x_0) = x1$ und $u'(x_1) = 0$ (bzw. $u$ hat an der Stelle $x_1$ die Steigung $0$), dann gilt auch $f'(x_0) = u'(x_1) \cdot v(x_0) = 0$ (bzw. $f$ hat an der Stelle $x_0$ die Steigung $0$).
Aufgabe 6
(a) Betrachte die (im Applet gezeigte) Situation, dass $f(x) = g(x+b)$ mit einer reellen Zahl $b$ gilt. Im Applet kann man den roten Punkt auf der $x$-Achse bewegen.
Zum Herunterladen: verschiebenx.ggb
- Für z.B. $b = 2$ hat $f$ an einer Stelle $x$ denselben Funktionswert wie $g$ an der Stelle $x+2$.
- Graph $f$ erhält man aus Graph $g$, indem man Graph $g$ um $b$ nach links verschiebt.
- Die Beziehung $f'(x) = g'(x+b)$ erhält man direkt mit der Kettenregel. Die Steigung von Graph $f$ an einer Stelle $x$ entspricht demnach der Steigung von Graph $g$ an der Stelle $x+b$.
(b) Betrachte die (im Applet gezeigte) Situation, dass $f(x) = g(a \cdot x)$ mit einer reellen Zahl $a \neq 0$ gilt. Im Applet kann man den roten Punkt auf der $x$-Achse bewegen.
Zum Herunterladen: streckenx.ggb
- Für z.B. $a = 2$ hat $f$ an einer Stelle $x$ denselben Funktionswert wie $g$ an der Stelle $2x$.
- Graph $f$ erhält man aus Graph $g$, indem man Graph $g$ mit dem Faktor $a$ in $x$-Richtung streckt (bzw. staucht).
- Die Beziehung $f'(x) = a \cdot g'(a \cdot x)$ erhält man direkt mit der Kettenregel. Die Steigung von Graph $f$ an einer Stelle $x$ entspricht also dem $a$-fachen der Steigung von Graph $g$ an der Stelle $a \cdot x$.
(c) Betrachte die (im Applet gezeigte) Situation, dass $f(x) = g(a \cdot x + b)$ mit reellen Zahl $a \neq 0$ und $b$ gilt. Im Applet kann man den roten Punkt auf der $x$-Achse bewegen.
Zum Herunterladen: transformation1x.ggb
Kläre folgende Fragen:
- Wie erhält man hier Graph $f$ aus Graph $g$? Graph $f$ erhält man, indem man Graph $g$ mit dem Faktor $a$ in $x$-Richtung streckt und dann um $b$ nach links verschiebt.
- Wie wirkt sich das auf die Steigungen aus? Mit der Kettenregel erhält man $f'(x) = a \cdot g(a \cdot x + b)$.
(d) Betrachte abschließend die Situation, dass $f(x) = c \cdot g(a \cdot x + b) + d$ mit reellen Zahl $a \neq 0$, $b$, $c \neq 0$ und $d$ gilt.
Zum Herunterladen: transformation2.ggb
Kläre folgende Fragen:
- Wie erhält man hier Graph $f$ aus Graph $g$? Graph $f$ erhält man, indem man Graph $g$ mit dem Faktor $a$ in $x$-Richtung streckt, dann um $b$ nach links verschiebt, dann mit dem Faktor $c$ in $y$-Richtung streckt und schließlich um $d$ nach oben verschiebt.
- Wie wirkt sich das auf die Steigungen aus? Mit der Kettenregel erhält man $f'(x) = a \cdot c \cdot g(a \cdot x + b)$.
