Lösungen zu Übungen – Umkehrregel
Aufgabe 1
Betrachte die Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = x^3$ und ihre Umkehrfunktion $f^{-1}$ mit $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$ (jeweils mit $0 \lt x \lt \infty$).
Bestimme die Ableitungsfunktion $(f^{-1})'$ mit der Umkehrregel und mit der verallgemeinerten Potenzregel. Begründe, warum man die Stelle $x = 0$ $(f^{-1})'(0)$
Mit $f'(x) = 3x^2$ erhält man mit Hilfe der Umkehrregel:
$(f^{-1})'(x) = \displaystyle{\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}} = \displaystyle{\frac{1}{3(\sqrt[3]{x})^2}}$
Wenn man die verallgemeinerte Potenzregel (und die Kettenregel) auf $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ anwendet, ergibt sich:
$\displaystyle{(f^{-1})'(x) = \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3 x^{\frac{1}{3}\cdot 2}} = \frac{1}{3 (x^{\frac{1}{3}})^{2}} = \frac{1}{3(\sqrt[3]{x})^2}}$
Aufgabe 2
Betrachte die Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = e^x$ und ihre Umkehrfunktion $f^{-1}$ mit $f^{-1}(x) = \ln(x)$ (jeweils mit $0 \lt x \lt \infty$).
Bestimme die Ableitungsfunktion $(f^{-1})'$ mit der Umkehrregel.
Mit $f'(x) = e^x$ erhält man mit Hilfe der Umkehrregel:
$(f^{-1})'(x) = \displaystyle{\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}} = \displaystyle{\frac{1}{e^{\ln(x)}}} = \displaystyle{\frac{1}{x}}$
