Lösungen zu Übungen – Umkehrung von Funktionen
Aufgabe 1
(a) Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{3}x+2$. Warum ist diese Funktion umkehrbar? Bestimme ihre Umkehrfunktion.
(b) Betrachte eine lineare Funktion $f$ mit $f(x) = mx + b$ und $m \neq 0$. Warum ist eine solche Funktion umkehrbar? Bestimme ihre Umkehrfunktion.
(a)
Graph $f$ ist eine Gerade mit einer positiven Steigung. Zu jedem $y$-Wert gibt es somit einen eindeutig bestimmten $x$-Wert mit $f(x) = y$.
Auflösen von $y = \frac{1}{3}x+2$ nach $x$ ergibt $x = 3y+6$. Vertauschen von $x$ und $y$ liefert $f^{-1}(x) = 3x+6$.
(b)
Graph $f$ ist eine Gerade mit einer Steigung ungleich $0$. Zu jedem $y$-Wert gibt es somit einen eindeutig bestimmten $x$-Wert mit $f(x) = y$.
Auflösen von $y = mx+b$ nach $x$ ergibt $x = \frac{1}{m}y-\frac{b}{m}$. Vertauschen von $x$ und $y$ liefert $f^{-1}(x) = \frac{1}{m}c-\frac{b}{m}$.
Aufgabe 2
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = (x-3)^2 + 2$.
Warum ist diese Funktion nicht umkehrbar? Schränke die Definitionsmenge so ein, dass sie umkehrbar wird. Bestimme für die Funktion mit eingeschränkter Definitionsmenge eine Funktionsgleichung für die Umkehrfunktion.
Die Funktion $f$ ist eine quadratische Funktion, der Graph ist also eine Parabel. Zu jedem $y$-Wert gibt es somit nicht immer einen eindeutig bestimmten $x$-Wert mit $f(x) = y$.
Wenn man die Definitionsmenge $3 \le x \lt \infty$ wählt, dann wir nur ein Ast
der Parabel betrachtet. Die Funktion $f$ ist für
diese Definitionsmenge umkehrbar.
Auflösen von $y = (x-3)^2 - 2$ nach $x$ ergibt $x = \sqrt{y-2}+3$. Vertauschen von $x$ und $y$ liefert $f^{-1}(x) = \sqrt{x-2}+3$. Die Funktion $f^{-1}$ ist für $2 \le x \lt \infty$ definiert.
Aufgabe 3
Die folgenden Funktionen sind alle umkehrbar. Bestimme jeweils eine Funktionsgleichung für die Umkehrfunktion.
- $f(x) = (x+1)^3$
- $f(x) = \sqrt[3]{2x}$
- $f(x) = 2e^{x-1}$
-
$f(x) = (x+1)^3$
Auflösen von $y = (x+3)^3$ nach $x$ ergibt $x = \sqrt[3]{y}-3$. Vertauschen von $x$ und $y$ liefert $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{y}-3$. -
$f(x) = \sqrt[3]{2x}$
Auflösen von $y = \sqrt[3]{2x}$ nach $x$ ergibt $x = \frac{1}{2}y^3$. Vertauschen von $x$ und $y$ liefert $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x^3$. -
$f(x) = 2e^{x-1}$
Auflösen von $y = 2e^{x-1}$ nach $x$ ergibt $x = \ln{\frac{y}{2}}+1$. Vertauschen von $x$ und $y$ liefert $f^{-1}(x) = \ln{\frac{x}{2}}+1$.
Aufgabe 4
Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit folgenden Funktionsgleichungen.
- $f(x) = 4x-6$
- $g(x) = 0.25x + 1.5$
(a) Bestimme jeweils eine Funktionsgleichung zu den Umkehrfunktionen $f^{-1}$ und $g^{-1}$. Was fällt hier auf?
Umkehrung von $f$ mit $f(x) = 4x-6$:
Auflösen von $y = 4x-6$ nach $x$ ergibt $x = \frac{1}{4}y+\frac{3}{2}$. Vertauschen von $x$ und $y$ liefert $f^{-1}(x) = \frac{1}{4}x+\frac{3}{2} = 0.25x+1.5$.
Umkehrung von $g$ mit $g(x) = 0.25x + 1.5$:
Auflösen von $y = 0.25x + 1.5$ nach $x$ ergibt $x = 4y-6$. Vertauschen von $x$ und $y$ liefert $g^{-1}(x) = 4x-6$.
Es fällt auf, dass $g$ hier die Umkehrfunktion von $f$ ist und dass $f$ die Umkehrfunktion von $g$ ist.
(b) Bestimme $f \circ g$ und $g \circ f$. Was fällt hier auf?
Es gilt: $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(0.25x+1.5) = 4(0.25x+1.5)-6 = x+6-5 = x$
Es gilt: $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(4x-6) = 0.25(4x-6)+1.5 = x-1.5+1.5 = x$
Es fällt auf, dass $f \circ g$ und $g \circ f$ jedem $x$-Wert genau diesen $x$-Wert zuordnet.
(c) Warum sind die folgenden Zusammenhänge plausibel? Begründe.
-
Wenn man die Umkehrfunktion einer Funktion $f$ umkehrt, erhält man die Ausgangsfunktion $f$.
Kurz: $(f^{-1})^{-1} = f$ -
Wenn $g$ die Umkehrfunktion zur Funktion $f$ ist, dann ist $f$ die Umkehrfunktion von $g$.
Kurz: Wenn $f^{-1} = g$, dann gilt $g^{-1} = f$. -
Betrachte die Identitätsfunktion $i$ mit $i(x) = x$ (für alle $x$ aus einer vorgegebenen Definitionsmenge).
Es gilt:
$f \circ g = i$ bzw. $g \circ f = i$ genau dann, wenn $g = f^{-1}$ bzw. $f = g^{-1}$.
- Wenn man eine Zuordnung umkehrt und dann die Umkehrzuordnung nochmal umkehrt, dann erhält man die Ausgangszuordnung.
- Wenn man eine Zuordnung umkehrt und dann die Umkehrzuordnung nochmal umkehrt, dann erhält man die Ausgangszuordnung.
- Wenn $g$ die Umkehrfunktion von $f$ ist (oder umgekehrt), dann kehrt $g$ alle Zuordnungen von $f$ um. Es gilt also: Wenn $f(a) = b$, dann gilt $g(b) = a$. Hieraus folgt, dass $f(g(b)) = f(a) = b$ und $g(f(a)) = g(b) = a$ gilt. Wenn $f(g(x)) = x$ und $g(f(x)) = x$ gilt, dann kann man daraus folgern: Wenn $f(a) = b$, dann muss $g(b) = a$ gelten. Die Funktion $g$ kehrt somit die Zuordnungen von $f$ um (und umgekehrt).
Aufgabe 5
Temperaturen kann man in Grad Celsius und in Grad Fahrenheit angeben. Zur Umrechnung von Temperaturen aus Grad Celsius in Grad Fahrenheit kann man die Funktion $f$ mit $f_{F}(x) = \frac{9}{5}x+32$ benutzen.
(a) Rechne mit der Funktion $f$ die Temperatur $25°C$ in Grad $°F$ um.
(b) Entwickle eine Funktion $f_{C}$, mit der man Temperaturen aus Grad Fahrenheit in Grad Clesius umrechnen kann.
(a) $f(25) = \frac{9}{5}25+32 = 45+32 = 77$
(b)
Umkehrung von $f_{F}$:
Auflösen von $y = \frac{9}{5}x+32$ nach $x$ ergibt $x = \frac{5}{9}(y-32)$. Vertauschen von $x$ und $y$ liefert $f_{C}(x) = \frac{5}{9}(x-32)$.
