Lösungen zu Übungen – Verkettung von Funktionen
Aufgabe 1
Gegeben sind zwei Funktionen $u$ und $v$:
- $v(x) = x+1$
- $u(x) = x^2$
Betrachte die Verkettungen $f = u \circ v$ und $g = v \circ u$.
(a) Bestimme Funktionsterme für $f$ und $g$.
$g = v \circ u: x \stackrel{u}{\rightarrow} \dots \stackrel{v}{\rightarrow} \dots$
$f = u \circ v: x \stackrel{v}{\rightarrow} x+1 \stackrel{u}{\rightarrow} (x+1)^2$; Also: $f(x) = (x+1)^2$
$g = v \circ u: x \stackrel{u}{\rightarrow} x^2 \stackrel{v}{\rightarrow} x^2 + 1$; Also: $g(x) = x^2 + 1$
(b) Wahr oder falsch? Beurteile die folgenden Aussagen.
- $f(0) = 1$: wahr; da $f(0) = u(v(0)) = (0+1)^2 = 1$
- $g(0) = 1$: wahr; da $g(0) = v(u(0)) = 0^2+1 = 1$
- $f(1) = g(1)$: falsch, da $f(1) = 2^2 = 4$ und $g(1) = 1^2 + 1 = 3$
- $(u \circ v)(2) = 9$: wahr, da $u(v(2)) = (2+1)^2 = 9$
- $(v \circ u)(2) = 9$: falsch, $v(u(2)) = 2^2 + 1 = 5$
- $(u \circ v)(x) = (v \circ u)(x)$: falsch, da z.B. $(u \circ v)(2) \neq (v \circ u)(2)$
Aufgabe 2
Bestimme jeweils die Verkettung von $u$ mit $v$.
| $v(x)$ | $u(x)$ | $f(x) = u(v(x))$ | |
|---|---|---|---|
| (1) | $v(x) = x + 2$ | $u(x) = x^4$ | $f(x) = (x+2)^4$ |
| (2) | $v(x) = \cos(x)$ | $u(x) = x^2$ | $f(x) = (\cos(x))^2$ |
| (3) | $v(x) = x - 1$ | $u(x) = \frac{1}{x}$ | $f(x) = \frac{1}{x-1}$ |
| (4) | $v(x) = e^x$ | $u(x) = x^2 + x$ | $f(x) = (e^x)^2 + e^x$ |
| (5) | $v(x) = x + \pi$ | $u(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ | $f(x) = \frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)}$ |
| (6) | $v(x) = x^2 + 2$ | $u(x) = \sqrt{x}$ | $f(x) = \sqrt{x^2+2}$ |
| (7) | $v(x) = x^2$ | $u(x) = x^2 + 2x + 1$ | $f(x) = (x^2)^2 + 2x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1$ |
| (8) | $v(x) = x - 1$ | $u(x) = x + 1$ | $f(x) = (x - 1) + 1 = x$ |
Aufgabe 3
Gib jeweils zwei Funktionen $u$ und $v$ an, die miteinander verkettet die Funktion $f$ ergeben.
| $v(x)$ $\qquad\qquad$ | $u(x)$ $\qquad\qquad$ | $f(x) = u(v(x))$ | |
|---|---|---|---|
| (1) | $v(x) = x+4$ | $u(x) = x^4$ | $f(x) = (x + 4)^4$ |
| (2) | $v(x) = x^2 - 1$ | $u(x) = \sin(x)$ | $f(x) = \sin(x^2 - 1)$ |
| (3) | $v(x) = 2x+1$ | $u(x) = \frac{1}{x}$ | $f(x) = \frac{1}{2x+1}$ |
| (4) | $v(x) = -x^2$ | $u(x) = 2e^x$ | $f(x) = 2e^{-x^2}$ |
| (5) | $v(x) = \frac{1}{x}$ | $u(x) = \cos(x)$ | $f(x) = \cos(\frac{1}{x})$ |
| (6) | $v(x) = x^2 - 1$ | $u(x) = \sqrt{x}$ | $f(x) = \sqrt{x^2-1}$ |
| (7) | $v(x) = x-2$ | $u(x) = x^4 + 3x - 2$ | $f(x) = (x - 2)^4 + 3(x - 2) - 1$ |
| (8) | $v(x) = x^2$ | $u(x) = \sin(x) - \cos(x)$ | $f(x) = \sin(x^2) - \cos(x^2)$ |
Aufgabe 4
Betrachte die Funktion $i$ mit $i(x) = x$. Bestimme $u \circ i$ und $i \circ u$ für mehrere Funktionen $u$. Was fällt auf? Formuliere eine Regel und begründe sie.
Betrachte z.B. $u$ mit $u(x) = x^3 - 2x$. Es gilt:
$u \circ i: x \stackrel{i}{\rightarrow} x \stackrel{u}{\rightarrow} x^3-2x$; Also: $(u \circ i)(x) = u(x)$
$i \circ u: x \stackrel{u}{\rightarrow} x^3-2x \stackrel{i}{\rightarrow} x^3-2x$; Also: $(i \circ u)(x) = u(x)$
Das Beispiel verdeutlicht folgende Regel:
Für jede Funktion $u$ gilt: $u \circ i = u$ und $i \circ u = u$.
Aufgabe 5
Gegeben sind drei Funktionen:
- $u(x) = \frac{1}{x}$
- $v(x) = x^2$
- $w(x) = 2x+1$
Bestimme die Mehrfachverkettungen $f = (u \circ v) \circ w$ und $h = u \circ (v \circ w)$. Was fällt auf? Formuliere eine Vermutung.
$u \circ v: x \stackrel{v}{\rightarrow} x^2 \stackrel{u}{\rightarrow} \frac{1}{x^2}$
$(u \circ v) \circ w: x \stackrel{w}{\rightarrow} 2x+1 \stackrel{u \circ v}{\rightarrow} \frac{1}{(2x+1)^2}$
$v \circ w: x \stackrel{w}{\rightarrow} 2x+1 \stackrel{v}{\rightarrow} (2x+1)^2$
$u \circ (v \circ w): x \stackrel{v \circ w}{\rightarrow} (2x+1)^2 \stackrel{u}{\rightarrow} \frac{1}{(2x+1)^2}$
Das Beispiel legt folgende Vermutung nahe:
Für alle Funktionen $u$, $v$, $w$ gilt: $(u \circ v) \circ w = u \circ (v \circ w)$.
