Lösungen zu Übungen – Beschreibung von Kreisbewegungen
Aufgabe 1
Der Punkt $P$ hat zum Zeitpunkt $t$ die Koordinaten $(\underbrace{3\cos(t)}_{x(t)}|\underbrace{3\sin(t)}_{y(t)})$.
(a) Bestimme die Positionen von $P$ zu den Zeitpunkten $t = 0$, $t = \frac{1}{2}\pi$, $t = \pi$, $t = \frac{3}{2}\pi$ und $t = 2\pi$.
- $t = 0$: $P(3|0)$
- $t = \frac{1}{2}\pi$: $P(0|3)$
- $t = \pi$: $P(-3|0)$
- $t = \frac{3}{2}\pi$: $P(0|-3)$
- $t = 2\pi$: $P(3|0)$
(b) Zeige, dass $(x(t))^2 + (y(t))^2 = 3^2$. Warum zeigt das, dass sich $P$ auf einer Kreisbahn um den Koordinatenursprung bewegt.
$(x(t))^2 + (y(t))^2 = (3\cos(t))^2 + (3\sin(t))^2 = 3^2 (\cos^2(t) + \sin^2(t)) = 3^2 \cdot 1 = 3^2$
Die Gleichung $(x(t))^2 + (y(t))^2 = 3^2$ kann man so deuten: Der Abstand des Punktes $P$ (zum Zeitpunkt $t$) zur Koordinatenursprung beträgt immer $3$. Der Punkt $P$ muss sich also auf einer Kreisbahn um den Koordinatenursprung mit dem Radius $3$ bewegen.
Aufgabe 2
Der Punkt $P$ bewegt sich auf einer Kreisbahn um den Koordinatenursprung. Zum Zeitpunkt $t$ hat er die Koordinaten $(\underbrace{3\cos(t)}_{x(t)}|\underbrace{3\sin(t)}_{y(t)})$.
(a) Gib die Umlaufdauer der Kreisbewegung an.
$T = 2\pi$
(b) Die Kreisbewegung soll doppelt so schnell erfolgen. Wie muss man die Koordinaten jetzt wählen?
$(\underbrace{3\cos(2t)}_{x(t)}|\underbrace{3\sin(2t)}_{y(t)})$
(c) Die vorgegebene Kreisbewegung soll zum Zeitpunkt $t = 0$ im Punkt $(-3|0)$ starten. Wie muss man die Koordinaten jetzt wählen?
$(\underbrace{3\cos(t)+\pi}_{x(t)}|\underbrace{3\sin(t)+\pi}_{y(t)})$
(d) Die vorgegebene Kreisbewegung soll im Uhrzeigersinn erfolgen. Wie muss man die Koordinaten jetzt wählen?
$(\underbrace{3\cos(-t)}_{x(t)}|\underbrace{3\sin(-t)}_{y(t)})$
Aufgabe 3
Das Riesenrad im Applet benötigt für eine Umdrehung die Zeit $T = \frac{1}{4}\pi$ (Zeiteinheiten). Beschreibe die Bewegung des Punktes $P$ mit passenden Funktionen.
Zum Herunterladen: riesenrad2.ggb
Die Bewegung erfolgt auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M(0|2)$ und dem Radius $r = 2$. Wenn $(x(t)|y(t))$ eine Bewegung auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $O(0|0)$ und dem Radius $r = 2$ beschreibt, dann beschreibt $(x(t)|y(t)+2)$ die entsprechende Bewegung auf dem nach oben verschobenen Kreis.
Wir beschreiben die Bewegung des Punktes $P$ zum Zeitpunkt $t$ mit zwei Funktionen: $P(x(t)|y(t))$. Es gilt $x(t) = r \sin(\omega t + \varphi)$ und $y(t) = r \sin(\omega t + \varphi) + 2$.
Man muss $r = 2$ wählen, damit der Radius des Kreises $2$ beträgt.
Mit $T = \frac{1}{4}\pi$ erhält man $\omega = \frac{2\pi}{T} = 8$.
Damit $P$ die richtige Position zum Zeitpunkt $t = 0$ hat, muss man $\varphi = \frac{3}{2}\pi$ wählen.
Also: $x(t) = 2 \cos(8t + \frac{3}{2}\pi)$ und $y(t) = 2 \sin(8t + \frac{3}{2}\pi) + 2$.
Aufgabe 4
Ein Satellit bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer kreisförmigen Umlaufbahn um die Erde. Der Erdmittelpunkt liegt im Koordinatenursprung, die Umlaufbahn liegt in der x-y-Ebene. Folgende Daten sind gegegeben:
- Radius der Umlaufbahn: $r = 7\cdot 10^6$ m
- Umlaufdauer: $T = 90$ min
- Position zum Zeitpunkt $t = 0$: auf der positiven $x$-Achse
Beschreibe die Satellitenbewegung in der Form $P_t(x(t)|y(t))$.
Es gilt $P_t = (r \cos(ωt+\varphi)∣r \sin(ωt+\varphi))$
Da der Satellit zum Zeitpunkt $t = 0$ auf der positiven $x$-Achse startet, gilt $\varphi = 0$.
Man muss $r = 7\cdot 10^6$ wählen, damit der Kreis den vorgegebenen Radius hat.
Wir geben die Umlaufdauer in der Zeiteinheit Sekunden an. Es gilt dann $T = 5400$ [s]. Mit dieser Umlaufdauer erhält man die Winkelgeschwindigkeit $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{\pi}{2700} \approx 1.16 \cdot 10^{-3}$ [1/s].
Also: $x(t) = 7\cdot 10^6 \cos(\frac{\pi}{2700} t)$ und $y(t) = 7\cdot 10^6 \sin(\frac{\pi}{2700} t)$.
