Lösungen zu Übungen – Beschreibung von Schwingungen
Aufgabe 1
Das Federpendel im Applet soll folgende Bewegungen ausführen. Stelle die Schieberegler jeweils passend ein. Beschreibe die Bewegungen mit passenden Zeit-Weg-Funktionen.
(a)
- Die maximale Auslenkung soll $\hat{s} = 3$ betragen.
- Die Schwingungsdauer soll $T = 2\pi$ Zeiteinheiten betragen.
- Zum Zeitpunkt $t = 0$ soll sich der schwingende Körper in der Ruhelage befinden.
(b)
- Die maximale Auslenkung soll $\hat{s} = 1$ betragen.
- Die Schwingungsdauer soll $T = \pi$ Zeiteinheiten betragen.
- Zum Zeitpunkt $t = 0$ soll die Feder maximal gedehnt sein.
(c)
- Die maximale Auslenkung soll $\hat{s} = 2$ betragen.
- Die Schwingungsdauer soll $T = 4\pi$ Zeiteinheiten betragen.
- Zum Zeitpunkt $t = 0$ soll die Feder maximal zusammengedrückt sein.
Zum Herunterladen: federpendel1.ggb
(a) $s(t) = 3 \sin(t)$
(b) $s(t) = \sin(2t + \frac{3}{2}\pi)$
(c) $s(t) = 2\sin(\frac{1}{2}t + \frac{1}{2}\pi)$
Aufgabe 2
Im Fitnessstudio bekommst du die aktuelle Auslenkung bei der Ausführung der Bewegung auf einem Display angezeigt. Wenn man den Timer startet, dann soll die Bewegung so ablaufen, wie der sich bewegende Punkt es anzeigt.
Zum Herunterladen: fitnessstudio.ggb
Deine Aufgabe ist es, die Bewegungsanzeige am Fitnessgerät einzustellen. Hierzu musst du die Zeit-Weg-Funktion passend vorgeben. Gehe davon aus, dass die Bewegung eine harmonische Schwingung ist.
(a) In der voreingestellten Ausgangssituation gilt $s(0) = 0$. Die Auslenkung soll aber so sein, dass Graph $s$ an der Stelle $t = 0$ einen Tiefpunkt hat. Stelle den hierfür zuständigen Parameter passend ein.
(b) Das Bewegungsausmaß stimmt in der Voreinstellung noch nicht. Stelle das Bewegungsausmaß doppelt so groß ein.
(c) In den $60$ Sekunden sollen genau $15$ Bewegungen erfolgen. Stelle die Parameter passend ein.
(a) Damit zum Zeitpunkt $t = 0$ ein Tiefpunkt vorliegt, wird $\varphi = \frac{3}{2}\pi$ eingestellt.
(b) Die maximale Auslenkung wird auf $s_m = 2$ eingestellt.
(c) Da $T = \frac{60}{15} = 4$ vorgegeben ist, stellt man $\omega = \frac{2\pi}{4} \approx 1.57$ ein.
Aufgabe 3
Die mittlere Tageslänge variiert periodisch im Laufe der Jahre. Gehe von folgenden (vereinfachten) Daten aus:
- Die mittlere Tageslänge beträgt in unseren Breitengraden ca. $12$ Stunden.
- Die maximale Abweichung beträgt ca. $+4$ Schwingungsdauer (zum Sommerbeginn am 21.6.) und $-4$ Stunden (zum Winterbeginn am 21.12.).
- Das Jahr dauert ca. $365$ Tage.
(a) Die Zeit-Weg-Funktion $s(t)$ beschreibe die momentane Abweichung der Tageslänge vom Mittelwert. Skizziere grob den Verlauf von Graph $s$ für ein Jahr.
(b) Gehe davon aus, dass die Abweichung der Tageslänge vom Mittelwert mit einer harmonischen Schwingung beschrieben werden kann. Bestimme eine Funktionsgleichung für die Zeit-Weg-Funktion $s(t)$.
Nach der Annahme (harmonische Schwingung) macht man den Ansatz $s(t) = \hat{s} \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi)$.
- Die maximale Auslenkung beträgt $\hat{s} = 4$.
- Da $T = 365$ gilt $\omega = \frac{2\pi}{365} \approx 0.017$.
- Der 21.6. ist der 172. Tag des Jahres. Die Funktion $s$ erreicht an diesem Tag die maximale Auslenkung. Also muss $s$ die Bedingung $s(172) = 4$ erfüllen. Man erhält so die Gleichung $\frac{2\pi}{365} \cdot 172 + \varphi = \frac{\pi}{2}$. Durch Auflösen nach $\varphi$ erhält man $\varphi = \pi(\frac{1}{2}-2\frac{172}{365}) \approx -0.44$.
- Also: $s(t) \approx 4 \sin(0.017t - 0.44)$
Aufgabe 4
Die Abbildung verdeutlicht den Temperaturverlauf während eines Tages. Die Funktion $f$ beschreibt dabei die Temperatur außerhalb eines Hauses, die Funktion $g$ innerhalb eines Hauses. Die Funktion $f$ hat die Funktionsgleichung $f(t) = 8 \sin(\frac{1}{12} π t + \frac{15}{12}π) + 21$.
(a) Begründe: Die Funktion $f$ ist periodisch mit der Periode $T = 24$.
(b) Bestimme die Zeitpunkte, an denen die Temperatur außerhalb des Hauses minimal bzw. maximal ist.
(c) Gib auch eine Funktionsgleichung für die Funktion $g$ an.
(d) Bestimme den Zeitpunkt, an dem der Temperaturanstieg außerhal des Hauses maximal ist.
(a) Die Funktion $f$ hat die Periode $T = \frac{2\pi}{\frac{1}{12} π } = 24$.
(b) Betrachte die Funktion $f_0$ mit $f_0(t) = 8 \sin(\frac{1}{12} π t)$. Diese Funktion hat ihr Maximum zum Zeitpunkt $t = 6$ und ihr Minimum zum Zeitpunkt $t = 18$. Graph $f$ entsteht, indem man Graph $f_0$ um $21$ Einheiten nach oben und um $\frac{\varphi}{\omega} = \frac{\frac{15}{12}π}{\frac{1}{12} π} = 15$ Einheiten nach links (bzw. $24 - 15 = 9$ Einheiten nach rechts) verschiebt. Die Funktion $f$ hat also ihr Maximum zum Zeitpunkt $t = 6 + 9 = 15$ und ihr Minimum zum Zeitpunkt $t = 18 - 15 = 3$.
(c) $g(t) = 4 \sin(\frac{1}{12} π t + π) + 20$
(d) Die Ableitung einer allgemeinen Sinusfunktion hat ihre maximale Steigung genau zwischen den Tief- und Hochpunkt. Der Temperaturanstieg außerhal des Hauses ist also zum Zeitpunkt $t = 9$ maximal.
