Lösungen zu Übungen – Logistisches Wachstum
Aufgabe 1
Auf einer Insel hat sich eine neue schnelle ausbreitende invasive Tierpopulation etabliert. Biologen gehen von folgenden Annahmen aus:
- Die Entwicklung ist sehr dynamisch. Wir gehen aktuell von exponentiellem Wachstum mit einer jährlichen Wachstumskonstanten $k = 0.15$ aus.
- Aktuell beträgt der Bestand $400$ Tiere.
- Langfristig können nur maximal $2500$ Tiere auf der Insel leben.
(a) Kläre zunächst folgende Fragen:
-
Warum kann man die langfristige Entwicklung der Tierpopulation nicht mit einem exponentiellen Wachstumsmodell beschreiben?
Beim exponentiellen Wachstum gibt es keine Wachstumsgrenze. -
Warum eignet sich bgrenztes Wachstum ebenfalls nicht zur Beschreibung der Entwicklung der Tierpopulation?
Beim begrenzten Wachstum liegt zwar eine Wachstumsgrenze vor. Im Anfangsstadium gibt es aber keine exponentielle Expansionsphase. -
Warum passt ein logistisches Wachstumsmodell am ehesten zur Beschreibung der Entwicklung der Tierpopulation?
Das logistische Wachstum sieht sowohl eine exponentielle Expansionsphase zu Beginn als auch eine langfristige Sättigungsphase mit einer Wachstumgsgrenze vor.
(b) Die Biologen beschreiben die Populationsentwicklung mit der Differentialgleichung $f'(x) = \frac{0.15}{2500} \cdot f(x) \cdot (2500 - f(x))$. Die Variable $x$ erfasst dabei die Zeit in Jahren und $f(x)$ die zugehörige Anzahl der Tiere. Erläutere, welche der oben aufgeführten Annahmen mit dieser DGL erfasst bzw. nicht erfasst werden. Erläutere auch, welche zusätzliche Annahme in dieser Differentialgleichung steckt.
- Die DGL erfasst, dass es ein exponentielles Wachstum mit der Wachstumskonstante $k = 0.15$ in der Expansionsphase gibt.
- Die DGL erfasst auch, dass es eine Kapazitätsgrenze $G = 2500$ für die Population gibt.
- Die DGL nimmt zusätzlich an, dass die Annäherung an die Kapazitätsgrenze exponentiell mit derselben Wachstumskonstante $k = 0.15$ erfolgt.
- Die DGL berücksichtigt nicht die Anfangspopulation $a = 400$.
(c) Beschreibe die Populationsentwicklung mit einer Funktion, die die logistische Differentialgleichung $f'(x) = \frac{0.15}{2500} \cdot f(x) \cdot (2500 - f(x))$ erfüllt.
Man kann eine logistische Funktion benutzen.
$\displaystyle{f(x) = \frac{G}{1+c\cdot e^{-k \cdot x}}}$
Die Parameter setzt man auf folgende Werte: $G = 2500$; $k = 0.15$
- $G = 2500$ als Wachstumsgrenze
- $k = 0.15$ als Wachstumsfaktor (in der Expansions- und Sättigungsphase)
- Zur Bestimmung von $c$ nutzt man den Ansatz $f(0) = \frac{G}{1+c} = 400$. Hieraus erhält man $c = \frac{2500}{400} - 1 = 5.25$.
Man erhält also:
$\displaystyle{f(x) = \frac{2500}{1+5.25\cdot e^{-0.15 \cdot x}}}$
(d) Bestimme den Zeitpunkt, an dem das beschleunigte Wachstum in gebremstes Wachstum übergeht.
Der Übergang findet im Wendepunkt $W(\frac{\ln(c)}{k}|\frac{G}{2})$ statt. Wenn man die Parameter einsetzt, erhält man den Zeitpunkt $x_w = \frac{\ln(5.25)}{0.15} \approx 11$ (in Jahren).
Aufgabe 2
Ein Unternehmen bringt ein neues Produkt auf den Markt.
(a) Begründe, warum man die Markteinführung eines neuen Produkts oft mit einem logistisches Wachstumsmodell beschreibt.
Zu Beginn ist das Produkt kaum bekannt, durch Werbung und Empfehlungen steigt die Nachfrage schnell an. Nach einigen Jahren nähert sich der Markt jedoch einer Sättigung, da die meisten interessierten Haushalte bereits ausgestattet sind.
(b) Marktanalysen haben folgende Daten ergeben:
- Die maximale Verkaufszahl wird auf 1.2 Millionen Produkte geschätzt.
- Zum Zeitpunkt $x = 0$ sind bereits $50000$ Produkte verkauft.
- Nach $1$ Jahr sind ca. $90000$ Produkte im Umlauf.
Beschreibe die Entwicklung der Verkaufszahlen mit einer Differentialgleichung und mit einer Funktionsgleichung.
Die Kapazitätsgrenze ist bereits angegeben: $G = 1200000$.
Zur Bestimmung der Wachstumskonstante $k$ gehen wir von exponentiellem Wachstum in der Expansionsphase aus. Aus den Daten erhält man die folgende jährliche Wachstumsrate: $q = \frac{90000}{50000} = 1.8 = e^{\ln(1.8)} \approx e^{0.59}$. Wir nutzen daher die Wachstumskonstante $k = 0.59$.
Mit den Parametern erhält man folgende DGL: $f'(x) = \frac{0.59}{1200000} \cdot f(x) \cdot (1200000 - f(x))$.
Den Parameter $c$ erhält man mit folgenden Ansatz: $f(0) = \frac{G}{1+c} = 50000$. Hieraus ergibt sich $c = \frac{1200000}{50000} - 1 = 23$
Mit allen Parametern erält man folgende Funktionsgleichung: $f(x) = \frac{1200000}{1+23\cdot e^{-0.59 \cdot x}}$.
(c) Kläre mit Hilfe der Funktionsgleichung, wann das Unternehmen damit rechnen kann, dass $50 \%$ (bzw. $90 \%$ bzw. $99 \%$) der erwarteten maximalen Verkaufszahl erreicht ist.
Der Ansatz $f(x) = 0.5 G$ führt zur Gleichung $1+ 23\cdot e^{-0.59 \cdot x} = 2$. Durch Auflösen erhält man $x \approx 5.3$.
Der Ansatz $f(x) = 0.9 G$ führt zur Gleichung $1+ 23\cdot e^{-0.59 \cdot x} = \frac{10}{9}$. Durch Auflösen erhält man $x \approx 9$.
Der Ansatz $f(x) = 0.99 G$ führt zur Gleichung $1+ 23\cdot e^{-0.59 \cdot x} = \frac{100}{99}$. Durch Auflösen erhält man $x \approx 13.1$.
Aufgabe 3
Logistisches Wachstum haben wir mit der folgenden DGL beschrieben:
$f'(x) = \frac{k}{G} \cdot f(x) \cdot (G - f(x))$
(a) Begründe, dass man auch diese DGL benutzen kann:
$f'(x) = k \cdot f(x) \cdot (1 - \frac{f(x)}{G})$
$f'(x) = \frac{k}{G} \cdot f(x) \cdot (G - f(x)) = k \cdot \frac{1}{G} \cdot f(x) \cdot (G - f(x)) = k \cdot f(x) \cdot (\frac{G}{G} - \frac{f(x)}{G}) = k \cdot f(x) \cdot (1 - \frac{f(x)}{G})$
(b) Man kann die DGL auch etwas umstellen:
- $f'(x) = k \cdot f(x) \cdot (1 - \frac{f(x)}{G}) = k \cdot (1 - \frac{f(x)}{G}) \cdot f(x)$
- $f'(x) = \frac{k}{G} \cdot f(x) \cdot (G - f(x)) = k \cdot \frac{f(x)}{G} \cdot (G - f(x))$
Deute $\frac{f(x)}{G}$. Nutze die umgestellten Differentialgleichungen, um das Wachstumsverhalten in der Expansions- und Sättigungsphase zu beschreiben.
Der Ausdruck $\frac{f(x)}{G}$ beschreibt, welcher Anteil zum Zeitpunkt $x$ an der Wachstumskapazität erreicht ist.
-
$f'(x) = k \cdot f(x) \cdot (1 - \frac{f(x)}{G}) = k \cdot (1 - \frac{f(x)}{G}) \cdot f(x)$
Wenn der Anteil $\frac{f(x)}{G}$ sehr klein (nahezu $0$ bzw. $0\%$) ist, dann gilt $f'(x) \approx k \cdot f(x)$. Es liegt dann annähernd exponentielles Wachstum vor. - $f'(x) = \frac{k}{G} \cdot f(x) \cdot (G - f(x)) = k \cdot \frac{f(x)}{G} \cdot (G - f(x))$
Wenn der Anteil $\frac{f(x)}{G}$ sehr groß (nahezu $1$ bzw. $100\%$) ist, dann gilt $f'(x) \approx k \cdot (G - f(x))$. Es liegt dann annähernd begrenztes Wachstum vor.
Aufgabe 4
Mais ist eine schnell wachsende Pflanze. Eine Messreihe hat die im Applet dargestellten Daten ergeben. Die Messwerte werden angezeigt, wenn man den orange dargestellten Punkt über die Messpunkte bewegt.
Zum Herunterladen: wachstummais.ggb
(a) Warum ist es sinvoll, das Wachstum einer Maispflanze mit einem logistischen Wachstumsmodell zu beschreiben? Recherchiere zur Klärung, welche Faktoren das Wachstum einer Maispflanze beeinflussen.
Das Wachstum ist anfangs durch die geringe Blattfläche limitiert. Es nimmt dann mit zunehmender Sonneneinstrahlung stark zu. Es wird schließlich durch genetische und ökologische Grenzen gebremst.
(b) Die Datenpunkte liegen nicht auf einer perfekten logistischen S-Kurve. Woran liegt das? Warum erschwert das die Modellierung mit einer Funktion?
Die Datenpunkte beziehen sich auf eine Pflanze, die unter realen Bedingungen wächst. Das Wachstum kann dabei durch eine Kälte- oder Hitzewelle oder auch durch Wassermangel stark beeinflusst werden. Ebenso sind Messungenauigkeiten möglich.
Die Modellierung mit einer logistischen Funktion stellt eine Idealisierung dar. Die Funktion beschreibt das Wachstum nur grob vereinfacht. Unter realen Bedingungen gibt es möglicherweise Wachstumsschübe oder Wachstumsverzögerungen, die von einer logistischen Funktion nicht erfasst werden. Vereinfacht wird auch die Erfassung der Expansions- und Sättigungsphase. Eine logistische Funktion geht davon aus, dass beide Phasen exponentiell mit derselben Wachstumskonstante beschrieben werden können. Das ist ebenfalls eine vereinfachende Annahme. Bei der Modellierung ausgehend von realen Messwerten muss man somit abwägen, wie stark man die jeweiligen Messpunkte berücksichtigt.
(c) Im Applet kannst du mit den Schiebereglern experimentell die Parameterwerte $G$, $k$ und $c$ einstellen. Zum Überprüfen und Abgleichen kannst du eine automatisiert ermittelte logistische Trendlinie einblenden.
Die automatisierte Trendlinie nutzt die Parameter $G \approx 320$, $k \approx 0.073$ und $c \approx 122$.
(d) Bestimme für deine experimentell ermittelten logistischen Funktion die momentane Wachstumsgeschwindigkeit im Wendepunkt. Die gibt dir einen Anhaltspunkt, wie schnell eine Maispflanze wachsen kann.
Mit den Parametern $G \approx 320$, $k \approx 0.073$ und $c \approx 122$ erhält man folgende logistische Funktion.
$f(x) = \frac{320}{1+122\cdot e^{-0.073 \cdot x}}$
Dabei gibt $x$ die Tage ab Messbeginn und $f(x)$ die Höhe der Pflanze in cm an.
Nach Aufgabe 3 kann man die Wachstumsgeschwindigkeit im Wendepunkt so bestimmen:
$f'(x_w) = k \cdot \frac{G}{4} \approx 5.84$
In der schnellsten Wachstumsphase wächst die Maispflanze also mit einer Geschwindigkeit von knapp $6$ cm pro Tag.
