Lösungen zu Beispiel 1
Aufgabe
Das Applet zeigt die Graphen von zwei Funktionen.
Zum Herunterladen: aufgabe1.ggb
(a) Die Graphen gehören zu den Funktionen $f$ mit $f(x) = \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$ und $g$ mit $g(x) = \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$. Aber, welcher Graph gehört zu welcher Funktion? Begründe die richtige Zuordnung auf mehrere Weisen. Nutze die folgenden Funktionseigenschaften.
- Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
- Symmetrieeigenschaften
- Verhalten im Unendlichen
-
Argumentation mit den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen:
Da $e^{x} >0$ für alle $x$, hat die Funktion $f$ keine Schnittpunkte mit der $x$-Achse. Graph $f$ ist also rot eingefärbt. -
Argumentation mit Symmetrieeigenschaften:
Es gilt: $f(-x) = \frac{1}{2}(e^{-x}+e^{-(-x)}) = \frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) = f(x)$. Graph $f$ ist also symmetrisch zur $y$-Achse. Graph $f$ ist folglich rot eingefärbt. -
Argumentation mit dem Verhalten im Unendlichen:
Für $x \rightarrow -\infty$ gilt: $e^{x} \rightarrow 0$ und $e^{-x} \rightarrow +\infty$. Hieraus folgt, dass $f(x) \rightarrow +\infty$ und $g(x) \rightarrow -\infty$ für $x \rightarrow -\infty$. Der rote Graph gehört daher zur Funktion $f$, der blaue zur Funktion $g$.
(b) Betrachte die Funktion $a$ mit $a(x) = f(x) + g(x)$. Um welche besondere Funktion handelt es sich dabei?
$a(x) = f(x) + g(x) = \frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x}) + \frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x}) = e^{x}$
Bei der Summenfunktion $a(x) = f(x) + g(x)$ handelt es sich also um die $e$-Funktion.
Man kann dieses Ergebnis so deuten: Die $e$-Funktion lässt sich mit $f$ und $g$ in eine achsen- und eine punktsymmetrische Funktion aufspalten.
(c) Zeige, dass $f' = g$ und $g' = f$ gilt. Was folgt hieraus für $f''$ und $g''$?
$f'(x) = \frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x}\cdot(-1)) = \frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x}) = g(x)$
$g'(x) = \frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x}\cdot(-1)) = \frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x}) = f(x)$
Hieraus folgt $f'' = g' = f$ und $g'' = f' = g$.
(d) Blende die Funktion $h$ ein. Die Funktion $f$ soll mit einer Quadratfunktion $h$ mit $h(x) = k \cdot x^2 + 1$ angenähert werden, so dass $f(0) = h(0)$ sowie $f'(0) = h'(0)$ und $f''(0) = h''(0)$ gilt. Bestimme den Parameter $k$ passend. Wie groß ist die prozentuale Abweichung an der Stelle $x = 1$?
Für die Funktion $h$ gilt $h'(x) = 2k \cdot x$ und $h''(x) = 2k$.
Die Bedingung $f(0) = h(0)$ ergibt durch Einsetzen die (bereits erfüllte) Gleichung $1 = 1$.
Die Bedingung $f'(0) = h'(0)$ ergibt durch Einsetzen die (bereits erfüllte) Gleichung $0 = 0$.
Die Bedingung $f''(0) = h''(0)$ ergibt durch Einsetzen die Gleichung $1 = 2k$. Also muss man $k = \frac{1}{2}$ wählen.
Für $x = 1$ erhält man $f(1) \approx 1.54$ und $h(1) = 1.5$. Die prozentuale Abweichung beträgt also $\frac{0.04}{1.54} \approx 0.026 = 2.6 \%$.
