Lösungen zu Beispiel 2
Aufgabe
Das Applet zeigt die Graphen von drei Funktionen.
Zum Herunterladen: aufgabe2.ggb
(a) Die Graphen gehören zu einer Funktion $f$ und ihren Ableitungen $f'$ und $f''$. Welche Farben haben die jeweiligen Funktionen? Begründe die Zuordnung.
Den Hoch- und Tiefpunkten einer Ausgangsfunktion muss immer eine Nullstelle bei der Ableitungsfunktion entsprechen. Diese Bedingung ist nur bei folgender Zuordnung erfüllt:
- schwarzer Graph: $f$
- blauer Graph: $f'$
- grüner Graph: $f''$
(b) Die Ausgangsfunktion $f$ hat die Funktionsgleichung $f(x) = e^{-x^2}$. Bestätige deine Zuordnung in (a), indem du die folgenden Eigenschaften von $f$ bestimmst:
- Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
- Symmetrieeigenschaft
- Verhalten im Unendlichen
-
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:
Es gilt $f(0) = 1$. Graph $f$ schneidet die $y$-Achse also im Punkt $(0|1)$. Da die $e$-Funktion nur positive Funktionswerte hat, hat $f$ keine Schnittpunkte mit der $x$-Achse. Das passt zum schwarzen Graph. -
Symmetrieeigenschaft:
Es gilt $f(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = f(x)$. Graph $f$ ist also symmetrisch zur $y$-Achse. Das passt zum schwarzen Graph. -
Verhalten im Unendlichen:
Für $x \rightarrow +\infty$ und $x \rightarrow -\infty$ gilt $-x^2 \rightarrow -\infty$, also $f(x) \rightarrow 0$. Auch das passt zum schwarzen Graph.
(c) Bestimme Funktionsgleichungen für $f'$ und $f''$.
$f'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x \cdot e^{-x^2}$
$f''(x) = -2 \cdot e^{-x^2} + (-2x) \cdot e^{-x^2} \cdot (-2x) = (4x^2-2) \cdot e^{-x^2}$
(d) Bestimme mit den Funktionsgleichungen von $f'$ und $f''$ die Extrem- und Wendepunkte von $f$.
Es gilt $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$. Da $e^{-x^2} > 0$ für alle $x$, hat $-2x \cdot e^{-x^2}$ einen $+/-$-VZW an der Stelle $x = 0$. Graph $f$ hat folglich im Punkt $H(0|1)$ einen Hochpunkt.
Es gilt $f''(x) = 0$ genau dann, wenn $4x^2-2 = 0$ bzw. $x = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ oder $x = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. Mit Testwerten kann man ermitteln, dass $f''$ an diesen Stellen einen Vorzeichenwechsel hat. Es gilt $f(\sqrt{\frac{1}{2}}) = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$. Graph $f$ hat folglich in den Punkten $W_1(\frac{1}{\sqrt{2}}|\frac{1}{\sqrt{e}})$ und $W_2(\frac{1}{\sqrt{2}}|\frac{1}{\sqrt{e}})$ Wendepunkte.
