Lösungen zu Beispiel 3
Aufgabe
Betrachte die Funktionenschar $f_k$ mit $f_k(x) = (x-k) \cdot e^{-x}$. Der Parameter $k$ kann dabei eine beliebige reelle Zahl sein. Im Applet kann man mit dem Schieberegel einige ausgewählte Werte für $k$ einstellen.
Zum Herunterladen: aufgabe3.ggb
(a) Im Graph $f_k$ sind die drei Punkte $N$, $H$ und $W$ hervorgehoben. Kläre folgende Fragen experimentell:
- Welche Bedeutung haben diese Punkte für den Graph?
- Welchen horizontalen Abstand (verdeutlicht mit den rot gestrichelten Geraden) haben die Punkte jeweils?
- Welche $x$-Koordinaten haben die Punkte?
- $N$: Punkt zur Nullstelle; $H$: Hochpunkt; $W$: Wendepunkt
- Der Abstand ist jeweils $1$.
- $N(k|0)$; $H(k+1|\dots)$; $W(k+2|\dots)$
(b) Jetzt geht es darum, die Aussagen in (a) nachzuweisen. Begründe:
- $f_k$ hat an der Stelle $x = k$ eine Nullstelle.
- $f_k$ hat an der Stelle $x = k+1$ eine Extremstelle.
- $f_k$ hat an der Stelle $x = k+2$ eine Wendestelle.
-
Nullstelle:
$f_k(x) = 0$ gdw $(x-k) \cdot e^{-x} = 0$ gdw $x-k = 0$ gdw $x = k$ -
Extremstelle:
Es gilt: $f_k'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x-k) \cdot e^{-x} \cdot (-1) = ((k+1)-x) \cdot e^{-x}$
Also: $f_k'(x) = 0$ gdw $((k+1)-x) \cdot e^{-x} = 0$ gdw $(k+1)-x = 0$ gdw $x = k+1$
Da $e^{-x} >0$, legt $(k+1)-x$ das Vorzeichen von $f_k'$ an der Stelle $x$ fest. Das wechselt an der Stelle $x = k+1$ von $+$ nach $-$. -
Wendestelle:
Es gilt: $f_k''(x) = -1 \cdot e^{-x} + ((k+1)-x) \cdot e^{-x} \cdot (-1) = (x-(k+2)) \cdot e^{-x}$
Also: $f_k''(x) = 0$ gdw $ (x-(k+2)) \cdot e^{-x} = 0$ gdw $x-(k+2) = 0$ gdw $x = k+2$
Da $e^{-x} >0$, legt $x-(k+2)$ das Vorzeichen von $f_k''$ an der Stelle $x$ fest. Das wechselt an der Stelle $x = k+2$ von $-$ nach $+$.
(c) Stimmt es, dass Graph $f_k''$ jeweils identisch mit einem Graph der Funktionenschar ist? Begründe kurz.
Ja, es gilt $f_k'' = f_{k+2}$.
(d) Blende den Graph der Funktion $h$ ein. Es fällt auf, dass die Hochpunkte der Graphen der Funktionenschar alle auf Graph $h$ liegen. Bestimme eine Funktionsgleichung für die Funktion $h$.
Zunächst muss man die $y$-Koordinaten der Hochpunkte bestimmen. Es gilt $f_k(k+1) = ((k+1)-k) \cdot e^{-(k+1)} = e^{-(k+1)}$. Man erhält $H(k+1|e^{-(k+1)})$. Die Hochpunkte liegen also alle auf dem Graph zur Funktion $y = e^{-x}$.
