Lösungen zu Beispiel 4
Aufgabe
Betrachte die Funktionenschar $f_k$ mit $f_k(x) = (x^2-k) \cdot e^{-x^2}$. Der Parameter $k$ kann dabei eine beliebige reelle Zahl sein. Im Applet kann man mit dem Schieberegel einige ausgewählte Werte für $k$ einstellen.
Zum Herunterladen: aufgabe4.ggb
(a) Zeige zunächst, dass Graph $f_k$ symmetrisch zur $y$-Achse ist und die $x$-Achse als Asymptote hat.
$f_k(-x) = ((-x)^2-k) \cdot e^{-(-x)^2} = (x^2-k) \cdot e^{-x^2} = f_k(x)$
(b) Variiere $k$ und beobachte jeweils die Anzahl der Nullstellen und Extremstellen. Ergänze die folgenden Aussagen.
- Für $k = 0$ hat $f_k$ genau $1$ Nullstelle.
- Für $k > 0$ hat $f_k$ genau $2$ Nullstellen.
- Für $k \le -1$ hat $f_k$ genau $1$ Extremstelle.
- Für $k > -1$ hat $f_k$ genau $3$ Extremstellen.
(c) Bestimme die Nullstellen von $f_k$ in Abhängigkeit von $k$.
Es gilt: $f_k(x) = 0$ gdw $(x^2-k) \cdot e^{-x^2} = 0$ gdw $x^2 -k = 0$ gdw $x^2 = k$.
Für $k = 0$ gibt es die Nullstelle $x = 0$. Für $k > 0$ gibt es die beiden Nullstellen $x = \sqrt{k}$ und $x = -\sqrt{k}$. Für $k \lt 0$ gibt es keine Nullstellen.
(d) Bestimme die Ableitungsfunktion $f_k'$ und untersuche in Abhängigkeit von $k$, an welchen Stellen die Funktion $f_k$ eine horizontale Tangente hat.
Es gilt: $f_k'(x) = 2x \cdot e^{-x^2} + (x^2-k) \cdot e^{-x^2} \cdot (-2x) = 2x \cdot e^{-x^2} \cdot (1 - (x^2-k))$.
Also: $f_k'(x) = 0$ gdw $2x \cdot e^{-x^2} \cdot (1 - (x^2-k))$ gdw $x = 0$ oder $1 - (x^2-k) = 0$. Somit steht mit $x = 0$ bereits eine Nullstelle von $f_k'$ fest.
Es gilt $1 - (x^2-k) = 0$ gdw $x^2 = k+1$. Für $k > -1$ ist $k+1 > 0$. Es gibt dann die weiteren Nullstellen $x = \sqrt{k+1}$ und $x = -\sqrt{k+1}$. Für $k = -1$ erhält man die bereits betrachtete Nullstelle $x = 0$. Für $k \lt -1$ gibt es keine Lösungen der Gleichung $x^2 = k+1$ und somit keine weiteren Nullstellen von $f_k'$.
Die Funktion $f_k$ hat also für jedes $k$ an der Stelle $x = 0$ eine horizontale Tangente. Für $k > -1$ hat $f_k$ zudem an den Stellen $x = \sqrt{k+1}$ und $x = -\sqrt{k+1}$ horizontale Tangenten.
(e) Zeige, dass die für $k > -1$ zusätzlich auftretenden Hochpunkte auf Graph $h$ mit $h(x) = e^{-x^2}$ liegen.
Es gilt: $f_k(\sqrt{k+1}) = ((\sqrt{k+1})^2-k) \cdot e^{-(\sqrt{k+1})^2} = ((k+1)-k) \cdot e^{-{k+1}} = e^{-{k+1}}$. Für $x = \sqrt{k+1}$ erhält man $y = e^{-{k+1} = e^{-x^2}}$. Die zusätzlich auftretenden Hochpunkte liegen also auf dem Graph von $y = e^{-x^2}$.
