Lösungen zu Beispiel 6
Aufgabe
Das Applet zeigt die Graphen von vier Funktionen.
Zum Herunterladen: aufgabe6.ggb
(a) Die Graphen gehören zu folgenden Funktionen:
- $f(x) = \ln(e^2+x)$
- $g(x) = \ln(e^2-x)$
- $h(x) = \ln(e^2 \cdot x)$
- $i(x) = \ln(e^2/x)$
Ermittle die korrekte Zuordnung der Graphen zu den Funktionen. Begründe die vorgenommene Zuordnung.
- $f(x) = \ln(e^2+x)$ ist nur für $e^2+x > 0$ bzw. $x > -e^2$ definiert. Hierzu passt nur der rote Graph.
- $g(x) = \ln(e^2-x)$ ist nur für $e^2-x > 0$ bzw. $x \lt e^2$ definiert. Hierzu passt nur der orange Graph.
- $h(x) = \ln(e^2 \cdot x) = \ln(e^2)+\ln(x) = 2 + \ln(x)$ ist streng monoton steigend. Da der rote Graph bereits vergeben ist, passt nur noch der blaue Graph.
- $i(x) = \ln(e^2/x) \ln(e^2)-\ln(x) = 2 - \ln(x)$ ist streng monoton fallend. Da der orange Graph bereits vergeben ist, passt nur noch der grüne Graph.
(b) Zeige, dass die vier Funktionen keine Extrempunkte haben.
- $f'(x) = \ln(e^2+x) = \frac{1}{e^2+x}$ hat keine Nullstellen.
- $g'(x) = \ln(e^2-x) = \frac{1}{e^2-x} \cdot (-1) = \frac{-1}{e^2-x}$ hat keine Nullstellen.
- $h'(x) = \frac{1}{x}$ hat keine Nullstellen.
- $i'(x) = -\frac{1}{x}$ hat keine Nullstellen.
