Lösungen zu Beispiel 1
Aufgabe
Das Applet zeigt die Graphen der Funktionen $u$ und $v$. Diese Graphen schneiden sich in den angezeigten Punkten. Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = u(v(x))$.
Zum Herunterladen: aufgabe1.ggb
(a) Welche Aussagen sind wahr bzw. falsch? Begründe mit den vorgegebenen Funktionsgraphen.
-
$f(0) = 0$: wahr
$f(0) = u(v(0)) = u(0) = 0$ -
$f(1) = 1$: wahr
$f(1) = u(v(1)) = u(1) = 1$ -
$f(2) = 0$: wahr
$f(2) = u(v(2)) = u(0) = 0$ -
$f(x) > 0$ für $x \lt 0$: wahr
Für $x \lt 0$ gilt $v(x) \lt 0$, also $u(v(x)) > 0$. -
$f(x) > 0$ für $x > 2$: wahr
Für $x > 2$ gilt $v(x) \lt 0$, also $u(v(x)) > 0$.
(b) Bestimme die Stellen, an den Graph $f$ eine horizontale Tangente hat.
Mit $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$ erhält man:
$f'(x) = 0$ genau dann, wenn $u'(v(x)) = 0$ oder $v'(x) = 0$.
Es gilt $u'(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$. Da $v(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = 2$ erhält man: $u'(v(x)) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = 2$.
Es gilt $v'(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 1$.
Also: $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = -1$ oder $x = 1$.
(c) Skizziere Graph $f$ mit den Eigenschaften aus (a) und (b).
Zum Herunterladen: aufgabe1loesung.ggb
