Lösungen zu Beispiel 2
Aufgabe
Das Applet zeigt die Graphen der Funktionen $u$ und $v$. Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = u(v(x))$.
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(a) Begründe, dass der Graph der Funktion $f$ oberhalb der $x$-Achse verläuft.
Für alle $x$ gilt $v(x) \ge 0$. Für alle $x \ge 0$ gilt zudem $u(x) > 0$. Hieraus folgt, dass $u(v(x)) > 0$ für alle $x$ gilt.
(b) Begründe, dass der Graph der Funktion $f$ ist symmetrisch zur $y$-Achse ist. Gehe dabei davon aus, dass der gesamte Graph der Funktion $v$ symmetrisch zur $y$-Achse ist.
Da Graph $v$ symmetrisch zur $y$-Achse ist, gilt $v(-x) = v(x)$. Hieraus folgt: $f(-x) = u(v(-x)) = u(v(x)) = f(x)$. Graph $f$ ist also ebenfalls symmetrisch zur $y$-Achse.
(c) Bestimme die Stellen, an den Graph $f$ eine horizontale Tangente hat.
Mit $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$ erhält man:
$f'(x) = 0$ genau dann, wenn $u'(v(x)) = 0$ oder $v'(x) = 0$.
Da Graph $u$ eine Gerade mit einer positiven Steigung ist, gilt $u'(x) > 0$ für alle $x$.
Es gilt $v'(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$.
Also: $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$.
(d) Bestimme eine Funktionsgleichung für $f$, wenn $v(x) = x^4$ gilt. Beschreibe, wie Graph $f$ aussieht.
Eine Funktionsgleichung für die lineare Funktion $u$ kann man am Graph ablesen: $u(x) = 0.5x + 2$.
Mit $v(x) = x^4$ erhält man: $f(x) = u(v(x)) = 0.5 x^4 + 2$. Der zugehörige Graph ist eine gestauchte Parabel vom Grad $4$ mit dem Scheitelpunkt $(0|2)$.
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