Lösungen zu Beispiel 3
Aufgabe
Das Applet zeigt die Graphen der ganzrationalen Funktionen $u$ (mit dem Grad 4) und $v$ (mit dem Grad 3). Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = u(x) \cdot v(x)$.
Zum Herunterladen: aufgabe3.ggb
(a) Kläre folgende Fragen. Begründe jeweils.
- Welche Symmetrieeigenschaft hat Graph $f$?
- Wie verhält sich Graph $f$ für $x \rightarrow \pm \infty$?
- Welchen Grad hat $f$?
- Da Graph $u$ symmetrisch zur $y$-Achse und Graph $v$ symmetrisch zum Ursprung ist, gilt: $f(-x) = u(-x) \cdot v(-x) = u(x) \cdot (-v(x)) = - u(x) \cdot v(x) = -f(x)$. Graph $f$ ist also symmetrisch zum Ursprung.
- Für $x \rightarrow +\infty$ gilt $u(x) \rightarrow +\infty$ und $v(x) \rightarrow -\infty$. Hieraus folgt, dass $f(x) = u(x) \cdot v(x) \rightarrow -\infty$. Da Graph $f$ symmetrisch zum Ursprung ist, gilt $f(x) \rightarrow +\infty$ für $x \rightarrow -\infty$.
- Da $u$ den Grad $4$ und $v$ den Grad $3$ hat, hat $f$ den Grad $7$.
(b) Bestimme die Schnittpunkte von Graph $f$ mit der $x$-Achse. Ermittle auch, in welchen Intervallen Graph $f$ oberhalb bzw. unterhalb der $x$-Achse verläuft.
Es gilt $f(x) = u(x) \cdot v(x) = 0$ genau dann, wenn $u(x) = 0$ oder $v(x) = 0$.
An den Graphen lies man ab: $u(x) = 0$ genau dann, wenn $x = -2$ oder $x = 2$ sowie $v(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$.
Also: Graph $f$ schneidet die $x$-Achse in den Punkten $(-2|0)$, $(0|0)$ und $(2|0)$.
Die folgende Übersicht zeigt, in welchen Intervallen Graph $f$ oberhalb bzw. unterhalb der $x$-Achse verläuft.
| Intervall | $u(x)$ | $v(x)$ | $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ |
|---|---|---|---|
| $-\infty \lt x \lt -2$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $-2 \lt x \lt 0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $0 \lt x \lt 2$ | $+$ | $-$ | $-$ |
| $2 \lt x \lt + \infty$ | $+$ | $-$ | $-$ |
(c) Bestimme die Steigungen in den Schnittpunkten mit der $x$-Achse. Entscheide ggf., ob in diesen Punkten Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte vorliegen.
Mit der Produktregel erhält man: $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$. Es gilt also:
-
$f'(-2) = u'(-2) \cdot v(-2) + u(-2) \cdot v'(-2) = 0 \cdot v(-2) + 0 \cdot v'(-2) = 0$.
Da Graph $f$ an der Stelle $x = -2$ von $+$ nach $+$ wechselt (siehe Übersicht in (b)), liegt an der Stelle $x = -2$ ein Tiefpunkt vor. -
$f'(0) = u'(0) \cdot v(0) + u(0) \cdot v'(0) = 0 \cdot v(0) + u(0) \cdot 0 = 0$.
Da Graph $f$ an der Stelle $x = 0$ von $+$ nach $-$ wechselt (siehe Übersicht in (b)), liegt an der Stelle $x = 0$ ein Sattelpunkt vor. -
$f'(2) = u'(2) \cdot v(2) + u(2) \cdot v'(2) = 0 \cdot v(2) + 0 \cdot v'(2) = 0$.
Da Graph $f$ an der Stelle $x = 2$ von $-$ nach $-$ wechselt (siehe Übersicht in (b)), liegt an der Stelle $x = 2$ ein Hochpunkt vor.
(d) Wie könnte Graph $f$ verlaufen? Skizziere einen möglichen Verlauf mit den Ergebnissen aus den Teilaufgaben (a) .. (c).
Zum Herunterladen: aufgabe3loesung.ggb
