Lösungen zu Beispiel 4
Aufgabe
Das Applet zeigt die Graphen der ganzrationalen Funktionen $u$ mit $u(x) = m \cdot x + b$ und $v$ mit $v(x) = x^2 + c$. Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = u(v(x))$ und $g$ mit $g(x) = v(u(x))$.
Zum Herunterladen: aufgabe4.ggb
(a) Begründe, dass $f$ und $g$ den Grad $2$ haben. Die Graphen von $f$ und $g$ sind demnach Parabeln.
Es gilt $f(x) = u(v(x)) = m \cdot (x^2 + c) + b$ sowie $g(x) = v(u(x)) = (m \cdot x + b)^2 + c$. An den Funktionsgleichungen sieht man, dass $f$ und $g$ den Grad $2$ haben.
(b) Begründe mit Hilfe von Ableitungsfunktionen, dass der Scheitelpunkt von Graph $f$ an der Stelle $x = 0$ liegt und dass der Scheitelpunkt von $g$ an der Nullstelle von $u$ liegt.
Es gilt $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$ und $g'(x) = v'(u(x)) \cdot u'(x)$.
Also: $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $u'(v(x)) = 0$ oder $v'(x) = 0$. Da $u'(x)$ immer negativ ist, gilt $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $v'(x) = 0$. Am Graph erkennt man, dass $v'(x) = 0$ genau dann zutrifft, wenn $x = 0$ gilt.
Analog erhält man: $g'(x) = 0$ genau dann, wenn $v'(u(x)) = 0$ oder $u'(x) = 0$. Da $u'(x)$ immer negativ ist, gilt $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $v'(u(x)) = 0$ bzw. wenn $x$ eine Nullstelle von $u$ ist.
(c) Ordne den Funktionen $f$ und $g$ die korrekten Graphen zu. Zur Auswahl stehen der rote und der blaue Graph.
Mit den Ergebnissen aus (b) erhält man, dass Graph $f$ blau und Graph $g$ rot eingefärbt ist.
