Lösungen zu Beispiel 1
Aufgabe
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = \displaystyle{\frac{1}{x}}$. Das Applet zeigt den Graph dieser Funktion und einen Punkt $P(a|f(a))$ auf diesem Graph.
Zum Herunterladen: aufgabe1.ggb
(a) Betrachte zunächst den Fall $a = 1$. Bestimme eine Funktionsgleichung für die Tangente an Graph $f$ durch den Punkt $P$. Bestimme dann die Schnittpunkte $X$ und $Y$ dieser Tangente mit den Koordinatenachsen. Diese Schnittpunkte bilden zusammen mit dem Koordinatenursprung ein rechtwinkliges Dreieck. Bestimme auch den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
Mit der Ableitung $f'(x) = - x^{-2} = -\displaystyle{\frac{1}{x^2}}$ erhält man folgende Tangentengleichung zum Punkt $P(1|f(1))$.
$t(x) = f'(1) \cdot (x - 1) + f(1) = -(x-1) + 1 = -x + 2$
Diese Tangente schneidet die $y$-Achse im Punkt $Y(0|2)$ und die $x$-Achse im Punkt $X(2|0)$.
Das Dreieck aus dem Ursprung $O$ und den beiden Punkten $X$ und $Y$ hat dann den Flächeninhalt $A = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$.
(b) Betrachte jetzt einen beliebigen Punkt $P(a|f(a))$ mit $a > 0$. Gehe analog zu Teilaufgabe (a) vor. Zeige, dass das Dreieck (aus dem Ursprung und den Schnittpunkten der Koordinatenachsen) immer den Flächeninhalt $A = 2$ hat.
Für die Tangentengleichung zum Punkt $P(a|f(a))$ erhält man:
$t(x) = f'(a) \cdot (x - a) + f(a) = -\frac{1}{a^2} \cdot (x - a) + \frac{1}{a} = -\frac{1}{a^2} x + \frac{2}{a}$
Mit $t(0) = \frac{2}{a}$ erhält man den Schnittpunkt $Y(0|\frac{2}{a})$ mit der $y$-Achse. Mit der Nullstelle $x = 2a$ erhält man den Schnittpunkt $X(2a|0)$ mit der $x$-Achse.
Das Dreieck aus dem Ursprung $O$ und den beiden Punkten $X$ und $Y$ hat dann den Flächeninhalt $A = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \frac{2}{a} = 2$.
(c) Betrachte die verallgemeinerte Funktion $f$ mit $f(x) = \displaystyle{\frac{k}{x}}$ mit einem Parameter $k > 0$. Wie muss man $k$ einstellen, so dass das Dreieck (aus dem Ursprung und den Schnittpunkten der Koordinatenachsen) immer denselben Flächeninhalt $A = 1$ hat? Leite den Wert für $k$ her.
Zum Herunterladen: aufgabe1b.ggb
Mit analogen Herleitungen erhält man die Schnittpunkte $X(2a|0)$ und $Y(0|\frac{2k}{a})$ der Tangente mit den Koordinatenachsen. Hieraus ergibt sich ein Flächeninhalt $A = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \frac{2k}{a} = 2k$.
Die Bedingung $A = 1$ ist dann für $k = \frac{1}{2}$ erfüllt.
