Lösungen zu Beispiel 2
Aufgabe
Das Applet zeigt die Graphen der Funktionen $u$ mit $u(x) = x$ und $v$ mit $v(x) = \displaystyle{\frac{1}{2x^2}}$. Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = u(x) + v(x)$.
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(a) Bestimme zunächst das Grenzverhalten von $f$ im Unendlichen.
Für $x \rightarrow +\infty$ gilt $u(x) \rightarrow +\infty$ und $v(x) \rightarrow 0$, also $f(x) = u(x) + v(x) \rightarrow +\infty$. Genauer: Für $x \rightarrow +\infty$ gilt $f(x) \rightarrow u(x)$, die Funktion $f$ nähert sich der Asyptotenfunktion $u$.
Für $x \rightarrow -\infty$ gilt $u(x) \rightarrow -\infty$ und $v(x) \rightarrow 0$, also $f(x) = u(x) + v(x) \rightarrow -\infty$ Genauer: Für $x \rightarrow -\infty$ gilt $f(x) \rightarrow u(x)$, die Funktion $f$ nähert sich der Asyptotenfunktion $u$.
(b) Kläre folgende Fragen: An welcher Stelle hat $f$ eine Definitionslücke? Wie verhält sich Graph $f$ an dieser Definitionslücke?
Die Funktion $f$ ist an der Stelle $x = 0$ nicht definiert, da $v$ an dieser Stelle nicht definiert ist.
Für $x \rightarrow 0$ mit $x > 0$ gilt $u(x) \rightarrow 0$ und $v(x) \rightarrow +\infty$, also $f(x) = u(x) + v(x) \rightarrow +\infty$.
Für $x \rightarrow 0$ mit $x \lt 0$ gilt $u(x) \rightarrow 0$ und $v(x) \rightarrow +\infty$, also $f(x) = u(x) + v(x) \rightarrow +\infty$.
Die Stelle $x = 0$ ist also eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.
(c) Skizziere mit dem Wissen aus (a) und (b) Graph $f$. Es reicht eine grobe Skizze.
Zum Herunterladen: aufgabe2loesung.ggb
(d) In der Skizze erkennt man, dass Graph $f$ einen Tiefpunkt hat. Bestimme die Koordinaten dieses Tiefpunkts.
Mit $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^3}$ erhält man: $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x^3 = 1$ bzw. $x = 1$. Der Tiefpunkt liegt also an der Stelle $x = 1$.
Mit $f(1) = \frac{3}{2}$ erhält man die Koordinaten des Tiefpunktes: $T(1|\frac{3}{2})$.
