Lösungen zu Beispiel 3
Aufgabe
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = \displaystyle{\frac{5}{1+x^2}}$.
Zum Herunterladen: aufgabe3.ggb
(a) Begründe ohne Ableitungen, dass der Graph der Funktion $f$ an der Stelle $x = 0$ einen Hochpunkt hat.
Für $x = 0$ erhält man $f(0) = 5$. Für $x \neq 0$ gilt $1 + x^2 > 1$, also $f(x) = \frac{5}{1+x^2} \lt 5$. An der Stelle $x = 0$ hat $f$ also seinen maximalen Funktionswert. Die Funktion $f$ hat demnach im Punkt $H(0|5)$ einen Hochpunkt.
(b) Die Gerade $g$ ist eine Parallele zur $x$-Achse auf der halben Höhe des Hochpunktes. Diese Gerade $g$ schneidet Graph $f$ in den beiden Punkten $P$ und $Q$. Bestimme den Abstand dieser beiden Punkte.
Die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte erhält man, wenn man die Bedingung $f(x) = 2.5$ auswertet. Durch Auslösen der Gleichung $\frac{5}{1+x^2} = 2.5$ erhält man $x = -1$ oder $x = 1$. Da beide Punkte $P$ und $Q$ dieselbe $y$-Koordinate haben, beträgt ihr Abstand $2$.
(c) Durch $P$ wird eine Tangente an Graph $f$ konstruiert. Zeige, dass diese Tangente durch den Hochpunkt verläuft.
Es gilt: $f'(x) = \frac{0 - 5 \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{-10x}{(1+x^2)^2}$
Die Tangente $t$ an Graph $f$ durch $P$ lässt sich mit folgender Geradengleichung beschreiben:
$t(x) = f'(1) \cdot (x - 1) + f(1) = -2.5 (x - 1) + 2.5 = -2.5x + 5$
Da $t(0) = 5$, verläuft die Tangente durch den Hochpunkt $H(0|5)$ von Graph $f$.
