Lösungen zu Beispiel 4
Aufgabe
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = \displaystyle{\frac{4x}{1+x^2}}$.
Zum Herunterladen: aufgabe3.ggb
(a) Begründe, dass Graph $f$ symmetrisch zum Ursprung ist.
$f(-x) = \displaystyle{\frac{4\cdot(-x)}{1+(-x)^2}} = \displaystyle{\frac{-4x}{1+x^2}} = -f(x)$
(b) Betrachte das Verhalten von $f$ im Unendlichen. Begründe, dass sich Graph $f$ der Asymptote $y = 0$ annähert.
Begründung 1:
Die dominante
Potenz befindet sich (mit einem positiven Vorfaktor) im Nenner.
Für $|x| \rightarrow \infty$ gilt also $f(x) \rightarrow 0$.
Begründung 2: Es gilt $f(x) = \displaystyle{\frac{4x}{1+x^2} \lt \frac{4x}{x^2} = \frac{4}{x}}$. Für $x \rightarrow +\infty$ gilt $\frac{4}{x} \rightarrow 0$. Da $f(x) \lt \frac{4}{x}$, gilt auch $f(x) \rightarrow 0$. Aus Symmetriegründen erhält man $f(x) \rightarrow 0$ auch für $x \rightarrow -\infty$.
(c) Im Applet erkennt man, dass Graph $f$ einen Hoch- und Tiefpunkt hat. Bestimme rechnerisch die Koordinaten dieser beiden Punkte.
Es gilt: $f'(x) = \frac{4 \cdot (1+x^2) - 4x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{4 - 4x^2}{(1+x^2)^2}$
Also: $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $4 - 4x^2 = 0$ bzw. $x^2 = 1$ bzw. $x = 1$ oder $x = -1$.
Der Nenner von $f'(x)$ ist für alle $x$ positiv. Der Zähler $4 - 4x^2$ legt somit das Vorzeichen von $f'$ an der Stelle $x$ fest. Der Zähler $4 - 4x^2$ hat an der Stelle $x = -1$ einen $-/+$-VZW und an der Stelle $x = 1$ einen $+/-$-VZW. An der Stelle $x = -1$ hat $f$ also einen Tiefpunkt und an der Stelle $x = 1$ einen Hochpunkt.
Mit $f(1) = 2$ erhält man den Hochpunkt $H(1|2)$. Der Tiefpunkt hat aus Symmetriegründen dann die Koordinaten $T(-1|-2)$.
(d) Blende Graph $f'$ ein. Wie viele Wendepunkte hat Graph $f$? Schätze grafisch die Koordinaten der Wendepunkte ab.
Graph $f'$ hat Extrempunkte an den Stellen $x = 0$ und (geschätzt) $x \approx 1.75$ sowie $x \approx -1.75$. An diesen Stellen hat Graph $f$ dann Wendepunkte.
