Lösungen zu Beispiel 1
Aufgabe
Das Applet zeigt die Graphen der folgenden Funktionen:
- $f(x) = \sin(x) + x$
- $g(x) = -\sin(x) + x$
- $h(x) = \cos(x) + x$
- $i(x) = -\cos(x) + x$
Zum Herunterladen: aufgabe1.ggb
(a) Welche Funktionen haben Graphen, die punktsymmetrisch zum Ursprung sind? Begründe.
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$f(-x) = \sin(-x)+(-x) = -\sin(x)-x = -(\sin(x)+x) = -f(x)$
Graph $f$ ist also punktsymmetrisch zum Ursprung. -
$g(-x) = \sin(-x)-(-x) = -\sin(x)+x = -(\sin(x)-x) = -g(x)$
Graph $g$ ist also punktsymmetrisch zum Ursprung. - Graph $h$ verläuft durch $(0|1)$, kann also nicht punktsymmetrisch zum Ursprung sein.
- Graph $i$ verläuft durch $(0|-1)$, kann also nicht punktsymmetrisch zum Ursprung sein.
(b) Bestimme die Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden.
Die Bedingung $f(x) = g(x)$ ist genau dann erfüllt, wenn $\sin(x) + x = \sin(x) - x$ bzw. wenn $\sin(x) = 0$ gilt. Das ist genau dann der Fall, wenn $x$ ein Vielfaches von $\pi$ ist.
(c) Begründe für eine der Funktionen, dass sie unendlich viele Sattelpunkte hat.
Es gilt $f'(x) = \cos(x)+1$ und $f''(x) = -\sin(x)$. Hieraus folgt: $f'(x) = 0$ gdw $\cos(x) = -1$. Das ist genau dann der Fall, wenn $x$ einen der folgenden Werte annimmt: $\dots -3\pi, -\pi, \pi, 3\pi, \dots$. Für diese Werte gilt zudem $f''(x) = 0$ mit einem VZW an der betreffenden Stelle. $f$ hat also an diesen Stellen Sattelpunkte.
