1. Ableitungen |
1. Änderung eines Bestandes |
1. Orientierung |
1. Entwicklung der Weltbevölkerungszahl |
2. Die Größe der Weltbevölkerung |
3. Änderung der Weltbevölkerungzahl |
4. Charakterisierung des Änderungsverhaltens |
5. Änderungsgeschwindigkeit |
2. Mittlere Änderungsrate |
1. Erkundung - Änderung eines Bestandes |
1. Beispiele |
1. Populationsentwicklung |
2. Downloadrate |
3. Geschwindigkeit |
2. Strukturierung - Mittlere Änderungsrate |
3. Wiederholung - Steigung einer Geraden |
1. Der Steigungsbegriff |
1. Beliebige Steigungsdreiecke |
2. Überprüfung |
4. Übungen - Mittlere Änderungsrate |
1. Temperaturentwicklung |
2. Geschwindigkeitsentwicklung |
3. Beliebige Funktionen |
5. Überprüfung - Mittlere Änderungsrate |
6. Zusammenfassung - Mittlere Änderungsrate |
3. Lokale Änderungsrate |
1. Erkundung - Tempolimit |
1. Achtung! Blitzer |
1. Das Problem |
2. Geschwindigkeitsbestimmung |
3. Momentangeschwindigkeit |
2. Erkundung - 100m-Lauf |
1. Lückenkemper gegen Kambundji |
1. Zeit-Weg-Funktion |
2. Endgeschwindigkeit |
3. Maximalgeschwindigkeit |
3. Erkundung - Freier Fall |
1. Fallende Gegenstände |
1. Zeit-Weg-Funktion |
2. Momentangeschwindigkeit |
3. Systematisches Vorgehen |
4. Strukturierung - Lokale Änderungsrate |
5. Übungen - Lokale Änderungsrate |
1. Tempolimit |
2. Bevölkerungswachstum |
3. Schiefe Ebene |
6. Überprüfung - lokale Änderungsrate |
7. Zusammenfassung - Lokale Änderungsrate |
4. Steigung eines Graphen |
1. Erkundung - Experimente mit einem Funktionenmikroskop |
2. Strukturierung - Steigung eines Graphen in einem Punkt |
3. Übungen - Steigung eines Graphen in einem Punkt |
4. Überprüfung - Steigung eines Graphen |
5. Zusammenfassung - Steigung eines Graphen in einem Punkt |
5. Ableitung an einer Stelle |
1. Erkundung - Der Ableitungsbegriff |
1. Die Schreibweise $f'(x_0)$ |
1. Abschätzung von $f'(x_0)$ |
2. Annäherung an $f'(x_0)$ |
3. Berechnung von $f'(x_0)$ |
4. Existenz von $f'(x_0)$ |
5. Grenzwertdarstellung von $f'(x_0)$ |
2. Übungen - Ableitung an einer Stelle |
1. Abschätzung von $f'(x_0)$ |
2. Herleitung von $f'(x_0)$ |
3. $f'(x_0)$ bei linearen Funktionen |
4. Prognose mit $f'(x_0)$ |
3. Überprüfung - Ableitung an einer Stelle |
4. Zusammenfassung - Der Ableitungsbegriff |
6. Tangente an einen Graph |
1. Erkundung - Das Tangentenproblem |
1. Konstruktion einer Tangente |
1. Ableitung als Tangentensteigung |
2. Grafisch ableiten |
2. Übungen - Tangente an einen Graph |
3. Überprüfung - Tangente an einen Graph |
4. Zusammenfassung - Tangente an einen Graph |
2. Ableitungsfunktionen |
1. Gesamtheit aller Ableitungen |
1. Orientierung |
1. Entwicklung der Weltbevölkerungszahl |
2. Entwicklung der Wachstumsgeschwindigkeit |
3. Ausblick |
2. Grafisches Ableiten |
1. Erkundung - Achterbahnprofil |
2. Strukturierung - Ableitungsfunktion |
3. Übungen - Grafisches Ableiten |
4. Überprüfung - Grafisches Ableiten |
5. Vertiefung |
6. Zusammenfassung - Ableitungsfunktion |
3. Ableitungsregeln |
1. Erkundung - Potenzfunktionen |
1. Profil einer Halfpipe |
1. Modellierung mit Potenzfunktionen |
2. Ableitung von Potenzfunktionen |
3. Anwendung auf die Halfpipe |
2. Erkundung - Kombinationen von Potenzfunktionen |
1. Profil einer Halfpipe |
1. Modellierung mit Kombinationen von Potenzfunktionen |
2. Ableitung von Kombinationen von Potenzfunktionen |
3. Anwendung auf die Halfpipe |
3. Strukturierung - Ableitungsregeln |
1. Bestimmung von Ableitungsfunktionen |
1. Potenzregel |
2. Summen- und Faktorregel |
3. Ganzrationale Funktionen |
4. Herleitung der Potenzregel |
5. Herleitung der Summenregel |
6. Herleitung der Faktorregel |
4. Übungen - Ableitungsregeln |
5. Überprüfung - Ableitungsregeln |
6. Zusammenfassung - Ableitungsregeln |
4. Höhere Ableitungen |
1. Erkundung - Beschleunigungsfunktion |
2. Strukturierung - Höhere Ableitungen |
3. Übungen - Höhere Ableitungen |
4. Zusammenfassung - Höhere Ableitungen |
3. Funktionsuntersuchungen - Grundlagen |
1. Eigenschaften von Funktionen |
1. Orientierung |
1. Der Produktionszyklus |
2. Probleme und Funktionseigenschaften |
3. Schwierigkeiten beim Problemlösen |
4. Ausblick |
2. Wachstumsverhalten einer Funktion |
1. Erkundung - Phasen bei Wachstumsprozessen |
1. Auf und Ab |
1. Beispiel 1 |
2. Beispiel 2 |
2. Strukturierung - Beschreibung von Wachstumsprozessen |
1. Zielsetzung |
1. Wachstumsarten |
2. Hoch- und Tiefpunkte |
3. Wendepunkte |
4. Sattelpunkte |
3. Übungen - Wachstumsverhalten |
1. Charakterisierung von Wachstumsprozessen |
2. Analyse der Ableitungsfunktion |
4. Überprüfung - Beschreibung von Wachstumsprozessen |
5. Zusammenfassung - Beschreibung von Wachstumsprozessen |
3. Hoch-/Tiefpunkte und Monotonie |
1. Erkundung - Gewinnmaximierung |
1. Zielsetzung |
1. Bestimmung eines Hochpunktes |
2. Variation der Gewinnfunktion |
3. Schwierigkeit bei der Gewinnmaximierung |
2. Strukturierung - Kriterien für Hoch-/Tiefpunkte und Monotonie |
1. Zusammenhänge zwischen Ausgangs- und Ableitungsfunktion |
1. Notwendige Bedingung für Hoch-/Tiefpunkte |
2. Hinreichende Bedingungen für Hoch-/Tiefpunkte und Monotonie |
3. Anwendung des Vorzeichenwechselkriteriums |
3. Exkurs - Bestimmung von Nullstellen |
4. Vertiefung - Verwendung höherer Ableitungen |
1. Verwendung höherer Ableitungen |
1. Hinreichende Bedingung für Hoch-/Tiefpunkte mit höheren Ableitungen |
2. Anwendung der hinreichen Bedingungen mit höheren Ableitungen |
5. Exkurs - Wenn-Dann-Aussagen |
6. Übungen - Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten |
1. Vorzeichenwechselkriterium |
2. Kriterien mit höheren Ableitungen |
3. Kugelstoßen |
4. Problemlösen |
5. Quadratische Funktionen |
7. Überprüfung - Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten |
8. Zusammenfassung - Kriterien für Hoch-/Tiefpunkte und Monotonie |
1. Notwendige Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte |
2. Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte - mit Vorzeichenwechsel der Ableitungsfunktion |
3. Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte - mit höheren Ableitungsfunktionen |
4. Wendepunkte und Krümmung |
1. Erkundung - Grippewelle |
1. Trendwende |
1. Ein Wendepunkt |
2. Bestimmung des Wendepunktes |
2. Strukturierung - Kriterien für Wendepunkte und Krümmung |
1. Zielsetzung |
1. Wendepunkte und die Krümmung des Graphen |
2. Notwendige Bedingung für Wendepunkte |
3. Hinreichende Bedingung für Wendepunkte und Krümmung |
4. Bestimmung von Wendepunkten mit dem Vorzeichenwechselkriterium |
5. Bestimmung von Wendepunkten mit höheren Ableitungen |
3. Übungen - Bestimmung von Wendepunkten |
1. Vorzeichenwechselkriterium |
2. Höhere Ableitungen |
3. Weltbevölkerungswachstum |
4. Kostenentwicklung |
5. Kubische Funktionen |
4. Überprüfung - Bestimmung von Wendepunkte |
5. Zusammenfassung - Kriterien für Wendepunkte und Krümmung |
1. Notwendige Bedingung für Wendepunkte |
2. Hinreichende Bedingung für Wendepunkte und Krümmung |
3. Hinreichende Bedingung für Wendepunkte - mit höheren Ableitungsfunktionen |
4. Funktionsuntersuchungen - Anwendungen |
1. Optimierungsprobleme |
1. Fallstudie - Optimale Schachteln |
1. Die Ausgangssituation |
1. Die Größe der Schachteln |
2. Das Optimierungsproblem |
3. Die Zielfunktion |
4. Die Extremwertbestimmung |
5. Die Lösung des Optimierungsproblems |
6. Variation der Kartongröße |
7. Variation der Kartongestaltung |
8. Zusammenfassung |
2. Fallstudie - Optimale Milchtüte |
1. Die Ausgangssituation |
1. Das Optimierungsproblem |
2. Die Zielfunktion |
3. Die Extremwertbestimmung |
4. Die Lösung des Optimierungsproblems |
5. Verbesserung der Modellierung |
6. Erneute Extremwertbestimmung |
7. Deutung der Lösung |
8. Zusammenfassung |
3. Fallstudie - Optimale Rechtecke |
1. Die Ausgangssituation |
1. Das Optimierungsproblem |
2. Lösung mit einer Zielfunktion |
3. Eine Lösung ohne Zielfunktion |
4. Variation des Optimierungsproblems |
5. Ein weiteres Optimierungsproblem |
6. Zusammenfassung |
4. Fallstudie - Optimale Getränkedose |
1. Die Ausgangssituation |
1. Das Optimierungsproblem - Version 1 |
2. Das Optimierungsproblem - Version 2 |
5. Fallstudie - Optimales Spielfeld |
1. Die Ausgangssituation |
1. Das Optimierungsproblem - Version 1 |
2. Das Optimierungsproblem - Version 2 |
2. Ganzrationale Funktionen |
1. Station - Funktionsgraphen modellieren |
1. Orientierung |
1. Entwicklung der Weltbevölkerungszahl |
2. Die Kontur der Fassade des Teatro Popular |
3. Ausblick |
2. Station - Mit Nullstellen argumentieren |
1. Nullstellen einer Funktion |
1. Anzahl der Nullstellen |
2. Anzahl der Extrempunkte |
3. Anzahl der Wendepunkte |
4. Anwendungen |
3. Station - Mit Ableitungsgraphen argumentieren |
1. Die Argumentationsstrategie |
1. Ganzrationale Funktionen vom Grad 3 |
2. Ganzrationale Funktionen vom Grad 4 |
3. Anwendung |
4. Station - Mit Symmetrie argumentieren |
1. Symmetrische Funktionsgraphen |
1. Symmetriebedingungen |
2. Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen |
5. Station - Mit dem Grenzverhalten argumentieren |
1. Ein Zuordnungsproblem |
1. Grenzverhalten |
2. Dominante Potenzfunktion |
3. Grenzverhalten vom Potenzfunktionen |
4. Lösung des Zuordnungsproblems |
6. Station - Parameter variieren |
1. Eine Funktionenschar |
1. Extrempunkte |
2. Wendepunkte |
3. Lage der Hochpunkte |
3. Funktionsbestimmung |
1. Fallstudie - Bevölkerungsentwicklung |
1. Die Ausgangssituation |
1. Bedingungen an die Funktion |
2. Lineares Gleichungssystem |
3. Verbesserung des Modells |
2. Fallstudie - Architektur |
1. Ein erstes Beispiel |
1. Weitere Beispiele |
3. Fallstudie - Tunnelbau |
1. Die Ausgangssituation |
1. Planungsversion 1 |
2. Planungsversion 2 |
3. Planungsversion 3 |
4. Planungsversion 4 |
5. Ableitung (kurz) |
1. Durchschnittliche Änderung |
1. Erkundung: Download |
2. Erkundung: Haustiere |
3. Strukturierung – Mittlere Änderungsrate |
4. Übungen |
5. Vertiefung: Streckenradar |
1. Einstieg |
1. Erarbeitung |
2. Vertiefung |
2. Momentane Änderung |
1. Erkundung – Tempolimit |
1. Achtung! Blitzer |
1. Einstieg |
2. Earbeitung |
3. Momentangeschwindigkeit |
2. Strukturierung |
3. Übung – Bevölkerungswachstum |
4. Überprüfung - lokale Änderungsrate |
5. Zusammenfassung - Lokale Änderungsrate |
5. Ableitungsregeln |
1. Erkundung - Potenzfunktionen |
1. Profil einer Halfpipe |
1. Ableitung von Potenzfunktionen |
2. Anwendung auf die Halfpipe |
2. Erkundung - Kombinationen von Potenzfunktionen |
1. Profil einer Halfpipe |
1. Modellierung mit Kombinationen von Potenzfunktionen |
2. Ableitung von Kombinationen von Potenzfunktionen |
3. Anwendung auf die Halfpipe |
3. Strukturierung - Ableitungsregeln |
1. Bestimmung von Ableitungsfunktionen |
1. Potenzregel |
2. Summen- und Faktorregel |
3. Ganzrationale Funktionen |
4. Herleitung der Potenzregel |
5. Herleitung der Summenregel |
6. Herleitung der Faktorregel |
4. Übungen - Ableitungsregeln |
5. Überprüfung - Ableitungsregeln |
6. Zusammenfassung - Ableitungsregeln |
6. Ableitungsfunktion (kurz) |
1. Graphische Ableitung |
2. Ableitungsregeln |
1. Erkundung - Potenzfunktionen |
1. Profil einer Halfpipe |
1. Ableitung von Potenzfunktionen |
2. Anwendung auf die Halfpipe |
2. Erkundung - Kombinationen von Potenzfunktionen |
1. Profil einer Halfpipe |
1. Modellierung mit Kombinationen von Potenzfunktionen |
2. Ableitung von Kombinationen von Potenzfunktionen |
3. Anwendung auf die Halfpipe |
3. Strukturierung - Ableitungsregeln |
1. Bestimmung von Ableitungsfunktionen |
1. Potenzregel |
2. Summen- und Faktorregel |
3. Ganzrationale Funktionen |
4. Herleitung der Potenzregel |
5. Herleitung der Summenregel |
6. Herleitung der Faktorregel |
4. Übungen - Ableitungsregeln |
5. Überprüfung - Ableitungsregeln |
6. Zusammenfassung - Ableitungsregeln |
7. Funktionsuntersuchungen (kurz) |
1. Extremstellen I |
1. Erkundung: Gewinnfunktion |
2. Strukturierung |
3. Vertiefung |
2. Krümmung |
1. Erkundung – Bakterienwachstum |
1. Einleitung |
1. Beispiel 1 |
2. Beispiel 2 |
2. Strukturierung |
3. Vertiefung – Motorradfahrt |
3. Extremstellen II |
1. Erkundnung |
2. Strukturierung |
3. Vertiefung |
4. Wendestellen |
1. ... |
2. ... |
3. ... |